3. Исследовать и построить график функции y=1 /2x⁴- 4x² + 1​

Ответ:

y=2x⁴-4x²+3

1) x∈R

2) y(-x)=2(-x)⁴-4x²+3=y(x) ф-я четная, можно строить только при х больше 0 и отразить график симметрично в оси у

3) пересечение с осью х   у=0

2x⁴-4x²+3=0    сделаем замену x²=z

2z²-4z+3=0  D=16-24<0  корней нет, график лежит   

выше оси х,   х=0  у=3 пересечение с осью у

4)y'=8x³-8x=8x(x-1)(x+1)  экстремумы при x=0,1, -1

----------- -1------------------ 0  -----------------------1--------→x

          -                +                            -                       +

убывает при x∈(-∞;-1)∪(0;1)

возрастает x∈(1;0)∪(1;∞)    x= -1,1  min  y= 1    

x=0  max y=3.

5) y''= 24x²-8=8(3x²-1)=0   x=1/√3,  -1/√3  точки перегиба

----------------- - 1/√3------------------1/√3----------------

             +                              -                      +

вогнута            выпукла                      вогнута

-----------------  ------------------------------