Предмет: Алгебра, автор: jalehimbatliii

tg(2arcctg5) мне нужен полноценный ответ

Ответы

Автор ответа: Artem112

$\mathrm{tg}(2\,\mathrm{arcctg}\,5)$

Поскольку в выражении присутствует арккотангенс, то перейдем от функции тангенса к функции котангенса:

$\mathrm{tg}(2\,\mathrm{arcctg}\,5)=\dfrac{1}{\mathrm{ctg}(2\,\mathrm{arcctg}\,5)}\ \boxed{=}$

Воспользуемся формулой котангенса двойного аргумента:

$\mathrm{ctg}\, 2\alpha =\dfrac{\cos2\alpha }{\sin2\alpha } =\dfrac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha }{2\sin\alpha\cos\alpha } =\dfrac{\mathrm{ctg} ^2\alpha -1 }{2\,\mathrm{ctg}\, \alpha }$

Получим:

$\boxed{=}\ \dfrac{1}{\mathrm{ctg}(2\,\mathrm{arcctg}\,5)}=1:\dfrac{\mathrm{ctg} ^2(\mathrm{arcctg}\,5) -1 }{2\,\mathrm{ctg} (\mathrm{arcctg}\,5) } =\dfrac{2\,\mathrm{ctg} (\mathrm{arcctg}\,5) }{\mathrm{ctg} ^2(\mathrm{arcctg}\,5) -1 }\ \boxed{=}$

Наконец, воспользуемся соотношением:

$\mathrm{ctg} (\mathrm{arcctg}\,\alpha )=\alpha$

Получим:

$\boxed{=}\ \dfrac{2\,\mathrm{ctg} (\mathrm{arcctg}\,5) }{\mathrm{ctg} ^2(\mathrm{arcctg}\,5) -1 }=\dfrac{2\cdot 5}{5^2 -1 }=\dfrac{10}{25 -1 }=\dfrac{10}{24 }=\dfrac{5}{12}$