Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, если один из
углов треугольника равен 90°, а расстояние от центра окружности до вершины
этого угла равно 8√2 см.

Відповідь:Ответ. с√3/2.

Пояснення:

Пусть дано треугольник АВС, О - центр вписанной окружности, угол А= 120", К - точка касания окружности к стороне АВ, ОК - радиус вписанной окружности. По свойствам радиуса, проведенного в точку касания, ОК перпендикулярно АВ. Расстояние ОА = с. Как известно, центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, тогда ОА - биссектриса: ∟ ОАК = 1/2*∟А =1/2*120" = 60". Из прямоугольного треугольника ОАК (∟ОКА = 90", ОА = с,∟ ОАК = 60") найдем катет ОК (противолежащий углу 60"): ОК= ОА*sin60" = с*√3/2. Ответ. с√3/2.