1. Знайти перших три відмінних від нуля члени розвинення в ряд Маклорена до функції:
f(x)=ln(cosx)
2. Розвинути в ряд по степенях x подані функції користуючись відомими розвиненнями функцій у ряд Маклорена:
f(x)=cos

Ответ:

Знайдемо похідні функції f(x) до третього порядку:

f(x) = ln(cos(x))

f'(x) = -tan(x)

f''(x) = -sec^2(x)

f'''(x) = -2sec(x)tan(x)

Розкладаємо функцію f(x) у ряд Тейлора до третього порядку:

f(x) ≈ f(0) + f'(0)x + (f''(0)x^2)/2! + (f'''(0)x^3)/3!

f(x) ≈ ln(cos(0)) + (-tan(0))x + (-sec^2(0)x^2)/2! + (-2sec(0)tan(0)x^3)/3!

f(x) ≈ 0 - x + 0 - 0

f(x) ≈ -x

Отже, перші три ненульові члени розкладу в ряд Маклорена для функції f(x) = ln(cos(x)) мають вигляд:

-f(x) = x - (x^3)/3! + ...