154. У колі із центром О проведено діаметр АВ і хорду АС. Знайдіть кут АВС, якщо ZACO-52°.​

Ответ:

З означення кута між хордою та діаметром випливає, що кут АСВ дорівнює 90 градусів. Оскільки ОА - діаметр, то кут АОВ також дорівнює 90 градусів. Таким чином, трикутник АОС є прямокутним.

Також нам дано, що ZACO-52°, тобто кут АЗО дорівнює 52 градусам. Оскільки внутрішні кути трикутника додаються до 180 градусів, то кут САО дорівнює 180 - 90 - 52 = 38 градусів.

Застосовуючи теорему синусів до трикутника АСО, отримуємо:

sin(AVS) / sin(ASV) = AO / AS

Оскільки ОА дорівнює діаметру, а тому є подвійним радіусом кола, то ОА = 2AS, тобто AS = ОА / 2.

Підставляючи це значення, ми отримуємо:

sin(AVS) / sin(ASV) = 2

Так як AVS - це кут в прямокутному трикутнику, то sin(AVS) = VS / AV, а sin(ASV) = VS / AS. Підставляючи ці значення, ми отримуємо:

VS / AV * AS / VS = 2

Спрощуючи, маємо:

AS / AV = 2

Але ми вже знаємо, що AS = ОА / 2, тому:

ОА / 2AV = 2

AV = ОА / 4

Таким чином, ми отримали вираз для довжини хорди AV через діаметр ОА. Підставляючи це значення в теорему синусів для трикутника АСВ, ми отримаємо:

sin(AVS) / sin(ASV) = 4

sin(AVS) / sin(90° - AVS) = 4

sin(AVS) / cos(AVS) = 4

tan(AVS) = 4

AVS = arctan(4) ≈ 75.96 градусів.

Таким чином, кут АВС дорівнює 75.96 градусів.