Показать что Линейная оболочка системы многочленов -3t²-1, 2t²+t, -t совпадает с пространством p3 всех многочленов степени ≤2

Ответ:

Ниже

Объяснение:

Чтобы показать, что линейная оболочка системы многочленов -3t²-1, 2t²+t, -t совпадает с пространством p3 всех многочленов степени ≤2, нужно показать две вещи:

Любой многочлен степени ≤2 может быть выражен как линейная комбинация -3t²-1, 2t²+t и -t.

Любая линейная комбинация из -3t²-1, 2t²+t и -t является многочленом степени ≤2.

Чтобы показать первое утверждение, пусть p(t) - любой многочлен степени ≤2. Тогда мы можем выразить p(t) как:

p(t) = at² + bt + c

где a, b и c - константы. Мы хотим найти константы k1, k2 и k3 такие, что:

p(t) = k1(-3t²-1) + k2(2t²+t) + k3(-t).

Расширение этого выражения дает:

p(t) = (-3k1 + 2k2 - k3)t² + (k2 - k3)t - k1.

Чтобы p(t) было равно этому выражению, нужно выбрать k1, k2 и k3 так, чтобы коэффициенты t², t и постоянного члена были равны. Это дает нам следующую систему уравнений:

-3k1 + 2k2 - k3 = a

k2 - k3 = b

-k1 = c

Решение этой системы уравнений дает:

k1 = -c

k2 = a/2 + b/2 - c

k3 = -a/2 - b/2 + c

Поэтому любой многочлен степени ≤2 можно выразить в виде линейной комбинации из -3t²-1, 2t²+t и -t.

Для доказательства второго пункта нужно показать, что любая линейная комбинация из -3t²-1, 2t²+t и -t является многочленом степени ≤2. Пусть q(t) - линейная комбинация этих многочленов:

q(t) = k1(-3t²-1) + k2(2t²+t) + k3(-t).

Разложение этого выражения дает:

q(t) = (-3k1 + 2k2 - k3)t² + (k2 - k3)t - k1.

Поскольку k1, k2 и k3 - константы, q(t) является многочленом. Более того, коэффициент t² равен (-3k1 + 2k2 - k3), что является константой, а коэффициент t равен (k2 - k3), что также является константой. Следовательно, q(t) - многочлен степени ≤2.

Таким образом, мы показали, что линейная оболочка системы многочленов -3t²-1, 2t²+t, -t совпадает с пространством p3 всех многочленов степени ≤2.