lgx+lg(x+1)<=lg3+1
Помогите Пожайлуста

Рассмотрим данное неравенство и применим свойства логарифмов:

lg(x*(x+1)) ≤ lg3 + 1

lg(x^2 + x) ≤ lg3 + lg10

Перенесем все в левую часть и воспользуемся свойством логарифма:

lg(x^2 + x) - lg10^0.5 ≤ lg3

lg((x^2 + x) / 10^0.5) ≤ lg3

Теперь применим обратную функцию логарифма, чтобы избавиться от логарифма:

(x^2 + x) / 10^0.5 ≤ 3

x^2 + x ≤ 3 * 10^0.5

x^2 + x - 5.196 ≤ 0

Решим квадратное уравнение:

D = 1 + 4 * 5.196 = 21.784

x1,2 = (-1 ± √D) / 2

x1 = (-1 - √21.784) / 2 ≈ -2.99

x2 = (-1 + √21.784) / 2 ≈ 1.99

Теперь нужно проверить, какой из корней удовлетворяет исходному неравенству. Для этого можно построить таблицу знаков:

     x      x+1      x(x+1)     lg(x(x+1))

    -∞      -∞         +         -

 -2.99    -1.99        +         -

 -1.99    -0.99        -         +

     0      1          0         -

  1.99     2.99        +         +

     +       +         +         +

Таким образом, решением неравенства является интервал (-∞, -1] объединенный с интервалом [0, 1.99].

Ответ: x принадлежит интервалу (-∞, -1] объединенному с интервалом [0, 1.99].