1)знайдіть катети і другий гострий кут прямокутного трикутника в якого гіпотенуза c=12 см і кут a=38° округліть значення катетів із цого трикутника
2)Катет прямокутного трикутника відносится до гіпотенузи цого трикутника як 2 ÷ 5 Знайдіть точностью до градусів гостри кути цого трикутника.
3)Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 6 см і 10 см Знайдіть периметр трикутника

1)У прямокутному трикутнику гіпотенуза завжди є найдовшою стороною, тому гіпотенуза цього трикутника має довжину 12 см, і кут а, прилеглий до одного з його катетів, має величину 38 градусів.

Застосовуючи тригонометричні функції, можна обчислити довжину катетів трикутника.

Так, з формули sin(a) = протилежний катет / гіпотенуза, ми можемо знайти довжину протилежного катета b:

sin(a) = b / c

b = c * sin(a)

b = 12 * sin(38)

b ≈ 7.3

Аналогічно, з формули cos(a) = прилеглий катет / гіпотенуза, ми можемо знайти довжину прилеглого катета:

cos(a) = a / c

a = c * cos(a)

a = 12 * cos(38)

a ≈ 9.3

Таким чином, довжина першого катета дорівнює близько 9.3 см, довжина другого катета дорівнює близько 7.3 см, а другий гострий кут має величину 52 градуси. Округлення значень катетів до цілих чисел дає нам відповіді: перший катет - 9 см, другий катет - 7 см

2)Застосуємо теорему Піфагора, щоб знайти довжину другого катету:

a² + b² = c²

(2x)² + b² = (5x)²

4x² + b² = 25x²

b² = 25x² - 4x²

b² = 21x²

b = sqrt(21)x

Тепер можемо знайти значення синуса і косинуса кута або b, використовуючи відношення катету та гіпотенузи:

sin(α) = b/c = sqrt(21)x/5x = sqrt(21)/5

cos(α) = a/c = 2x/5x = 2/5

Таким чином, ми знаємо значення синуса і косинуса кута b, а тому можемо використати табличні значення для знаходження гострого кута.

Знаючи, що sin(α) = sqrt(21)/5, ми можемо знайти градусний міру кута α, використовуючи обернену функцію синуса:

α = arcsin(sqrt(21)/5)

За допомогою калькулятора або таблиці тригонометричних значень, ми можемо отримати, що α ≈ 66.4° (округлено до однієї десятої).

Отже, гострий кут цього прямокутного трикутника дорівнює близько 66.4 градусів

3)a і b - катети прямокутного трикутника, і х - довжина бісектриси, яка ділить менший катет на дві рівні частини. Тоді ми маємо:

a:b = x:(b-x)

Оскільки x ділить менший катет на дві рівні частини, то b-x також ділить менший катет на дві рівні частини, тобто b-x = 6 см.

Тоді ми можемо записати:

a:b = x:(b-x) = x/6

Так як бісектриса гострого кута ділить менший катет на відрізки 6 см і 10 см, то:

x/6 = 10/(b-x)

x(b-x) = 60

xb - x^2 = 60

x^2 - xb + 60 = 0

Розв'язуючи це квадратне рівняння відносно x, отримуємо:

x = (b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

x = (b ± sqrt(b^2 - 240)) / 2

Оскільки x - довжина бісектриси гострого кута, то x має бути менше довжини меншого катету, тобто x < 6. Тому нашим вибором є формула з від'ємним коренем:

x = (b - sqrt(b^2 - 240)) / 2

Тепер ми можемо використати теорему Піфагора для знаходження гіпотенузи:

c^2 = a^2 + b^2

c^2 = (6 + 10)^2 + (2x)^2

c^2 = 256 + 4x^2

Замінюючи x у цій формулі, отримаємо:

c^2 = 256 + 4[(b - sqrt(b^2 - 240)) / 2]^2

c^2 = 256 + (b^2 - 240) / 2

2c^2 = 512 + b^2 - 240

b^2 = 2c^2 - 272

b = sqrt(2c^2 - 272)

Отже, периметр трикутника дорівнює:

a + b + c = 6 + sqrt(2c^2 - 272) + sqrt(256 + 4x^2)

Заміняємо x у цій формулі, отримуємо:

a + b + c = 6 + sqrt(2c^2 - 272) + sqrt(256 + 4[(b - sqrt(b^2 - 240)) / 2]^2)