У трикутнику ABC проведено медіану ВО завдовжки 6 см і висоту ВD. Кут DВО між ними дорівнює 30°. Знайдіть основу AC, якщо DC=5 см.

Для розв'язання задачі використаємо властивості медіани трикутника. Медіана трикутника ділить сторону на дві рівні частини і утворює з цією стороною кут, який дорівнює куту протилежного вершини.

Оскільки медіана ВО ділить сторону AC навпіл, то ОВ = ВС. Нехай точка E - середина сторони AC. Тоді медіана ВО і висота ВD перетинаються в точці E. Оскільки кут DВО дорівнює 30 градусів, а кут ВЕD прямий, то кут ВЕО дорівнює 60 градусам (комплементарний до кута DВО).

Розглянемо прямокутний трикутник ВЕО. Оскільки ВО = ВС, то трикутник ВЕО є рівностороннім. Звідси ОЕ = ВЕ = ЕС.

Тепер розглянемо трикутник ВДС. Він є прямокутним, тому за теоремою Піфагора маємо:

$VD^2 = BD^2 - BV^2 = 3^2 - (\frac{1}{2} AC)^2$

Оскільки DC = 5, то AC = AD + DC = 2OE + 5. За теоремою Піфагора також маємо:

$BD^2 = BO^2 - OD^2 = (\frac{1}{2} AC)^2 - 6^2$

Підставляючи ці вирази в попередній рядок, отримуємо:

$3^2 - (\frac{1}{2} AC)^2 = (\frac{1}{2} AC)^2 - 6^2$

Розв'язуючи це рівняння, маємо:

$\frac{1}{4} AC^2 = 45$

$AC^2 = 180$

$AC = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$

Отже, основа AC дорівнює 6√5 см.