Предмет: Алгебра, автор: veronikamila65

Помогите пожалуйста решить

Приложения:

Ответы

Автор ответа: HSS9860

Ответ:

оба ряда сходятся.

Объяснение:

посмотрите предложенный вариант (вложение); оформление не соблюдалось.

Приложения:

veronikamila65: спасибо большое

veronikamila65: можете посмотреть 3 вопрос, мне решили , но там не все написано

veronikamila65: могу тот ВОВ повторно добавить если вы попробуйте решить, пожалуйста)

veronikamila65: вы сделали замену ?

veronikamila65: вы здесь?

Автор ответа: NNNLLL54

Ответ:

Исследовать числовые ряды на сходимость .

$\bf 1)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{arctg\, n}{n^2+1}$ - знакоположительный числовой ряд .

Применяем достаточный интегральный признак сходимости Коши.

Составим функцию $f(x)=\dfrac{arctg\, x}{x^2+1}$ . Это положительная непрерывная и убывающая функция на $\boldsymbol[\, 1\, ;+\infty \, )}$ . Вычислим несобственный интеграл

$\bf \displaystyle \int\limits^{\infty }_{1}\, \dfrac{arctg\, x}{x^2+1}\, dx=\lim\limits _{A \to +\infty}\, \int\limits^{A}_{1}\, \dfrac{arctg\, x}{x^2+1}\, dx=\lim\limits _{A \to +\infty}\, \dfrac{arctg^2\, x}{2}\, \Big|_{1}^{A}=\\\\\\=\dfrac{arctg^2\, A}{2}-\dfrac{arctg^2\, 1}{2}=\frac{\Big(\dfrac{\pi }{2}\Big)^2}{2}-\dfrac{\Big(\dfrac{\pi }{4}\Big)^2}{2}=\dfrac{\pi ^2}{8}-\dfrac{\pi ^2}{32}=\dfrac{3\pi ^2}{32}\approx 0,92$

Так как несобственный интеграл равен const , то он сходится , а вместе с ним сходится и заданный ряд .

$\bf 2)\ \ \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{n^{10}}{(n+1)!}$ - знакоположительный числовой ряд .

Применим к этому ряду достаточный признак сходимости Даламбера .

Вычислим предел отношения последующего члена ряда к предыдущему.

$\bf \displaystyle \lim\limits _{n\to +\infty}\, \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim\limits _{n\to +\infty}\, \dfrac{(n+1)^{10}}{(n+2)!}:\frac{n^{10}}{(n+1)!}=\lim\limits _{n\to +\infty}\, \dfrac{(n+1)^{10}}{(n+2)!}\cdot \frac{(n+1)!}{n^{10}}=\\\\\\=\lim\limits _{n\to +\infty}\, \dfrac{(n+1)^{10}}{(n+1)!(n+2)}\cdot \frac{(n+1)!}{n^{10}}=\lim\limits _{n\to +\infty}\, \underbrace{\bf \dfrac{(n+1)^{10}}{n^{10}}}_{\to \, 1}\cdot \frac{1}{n+2}=\\\\\\=\lim\limits _{n\to +\infty}\, \dfrac{1}{n+2}}=0 < 1$

Так как предел равен числу, меньшему 1 , то ряд заданный сходится .

Приложения:

veronikamila65: спасибо большое

veronikamila65: посмотрите 3 мой вопрос который ответили пожалуйста, я там не могу понять как решили yugolovin решил

veronikamila65: а неправильно

veronikamila65: нужно сделать замену

NNNLLL54: всё правильно, замену делают в интеграле , чтобы было более понятно, чему равна первообразная . Это устный интеграл, зачем замену писать - лишние действия ...

veronikamila65: понятно, хорошо

NNNLLL54: если решать с заменой, то t=arctgx , dt=dx/1+x^2 и интеграл будет от t*dt , что равно t^2/2 ... и ещё надо замену пределов интегрирования писать ... куча писанины ...

veronikamila65: можете посмотреть пожалуйста, я пару задач добавила

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Алгебра, автор: ranastreva

Срочно, пожалуйста, помогите дам 5звезд

1 год назад

Предмет: Математика, автор: ok1ok2ok3ok4ok5ok6ok

24-(х+8)=х решите уравнение

1 год назад

Предмет: Алгебра, автор: milanaliepsha

яка з наведених чисел є розв'язком рівняння 4+2х=-2-х?
А Б В Г
-2 2 -3 -6