Даю 30!
Кут при вершині С рівнобедреного трикутника АВС дорівнює 120 градусів. Проведено бісектрису АЕ і висоту АД. Доведіть, що АД = ДЕ.

Оскільки трикутник АВС рівнобедрений, то кути при вершинах А і В також дорівнюють 120 градусів.

Позначимо за x кут між бісектрисою АЕ і висотою АД. Тоді, з означення бісектриси, кути CAB і CAE дорівнюють x, а з означення висоти, кути CBA і CBD дорівнюють 60 градусів.

Розглянемо трикутник ADE. Оскільки кути CAB і CAE дорівнюють x, то кути DAB і EAC дорівнюють (180 - x)/2 (з означення бісектриси Також, оскільки кути CBA і CBD дорівнюють 60 градусів, то кут ADB дорівнює 120 - 60 = 60 градусів.

Отже, ми маємо два трикутники ABD і AEC, у яких відповідні кути дорівнюють між собою. З цього випливає, що ці трикутники подібні.

За теоремою про подібні трикутники, співвідношення довжин сторін подібних трикутників рівні співвідношенню відповідних бічних сторін. Оскільки АД є висотою трикутника ABD, а ДЕ є бісектрисою трикутника AEC, то АД і ДЕ є відповідними бічними сторонами цих трикутників.

Отже, за теоремою про подібні трикутники, маємо:

AD/BD = AE/EC

Але, оскільки трикутник АВС рівнобедрений, то BD дорівнює CD, а отже, AD = AC - CD = AC - BC/2 = AE.

Тому, AD/AE = 1, і ми маємо AD = DE, що і потрібно було довести.