Порівняти порядок малості функції a(x)=√(1+4x)-√(1+x ) і β(x)=x при x→0

Відповідь:     одного порядку малості .

Пояснення:

 Нескінченно малі α(x) = √(1+4x)-√(1+x ) і β(x) = x  одного порядку

 малості , бо границя їх відношення  β(x)/α(x)  при  х → 0 дорівнює

 сталій  2/3 , яка не дорівнює 0 :

   β(x)/α(x) = x/[√(1+4x)-√(1+x ) ] = x [ √(1+4x) +√(1+x ) ]/x/[(√(1+4x) )² -

   - ( √(1+x ) )²] = x [ ( √(1+4x) +√(1+x ) ]/( 1 + 4x - 1 - x ) =

   = x [ √(1+4x) +√(1+x ) ]/( 3x ) = ( √(1+4x) +√(1+x ) ]/3 -----> 2/3 ≠ 0 .

                                                                                      x→0