Найдите косинус угла между векторами b=6m-n и с=m+3n если m перпендикулярен n |m|=|n|=1

Ответ:

Для нахождения косинуса угла между векторами необходимо вычислить скалярное произведение этих векторов и разделить его на произведение длин векторов:

cos(угла) = (b·c) / (|b| * |c|),

где b·c - скалярное произведение векторов b и c, |b| и |c| - длины векторов b и c соответственно.

Найдем векторное произведение векторов b и с:

b × c = (6m - n) × (m + 3n) = 6m × m + 6m × 3n - n × m - n × 3n = 18mn - n^2

Длина вектора b:

|b| = √((6m)^2 + (-1)^2) = √(36m^2 + 1)

Длина вектора c:

|c| = √((m)^2 + (3n)^2) = √(m^2 + 9n^2)

Скалярное произведение векторов b и c:

b·c = (6m - n)·(m + 3n) = 6m·m + 6m·3n - n·m - n·3n = 6m^2 + 18mn - nm - 3n^2

Теперь можем вычислить косинус угла между векторами:

cos(угла) = (b·c) / (|b| * |c|) = (6m^2 + 18mn - nm - 3n^2) / (√(36m^2 + 1) * √(m^2 + 9n^2))

Здесь m и n - ортогональные единичные векторы, поэтому m·n = 0 и m^2 = n^2 = 1.

Подставляя значения, получим:

cos(угла) = (6 + 18n - n - 3) / (√(36 + 1) * √(1 + 9)) = 10 / (5 * 2) = 1

Таким образом, косинус угла между векторами b и c равен 1. Это означает, что угол между векторами равен 0 градусов, то есть векторы сонаправлены.

Пошаговое объяснение: