Дослідіть дану функцію та побудуйте її графік:
f(x)=x-x^3
Ответы
Ответ:
График построен.
Объяснение:
Исследовать функцию и построить график:
f(x) = x - x³
1. Область определения функции х ∈ R
2. Четность, нечетность:
- Если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x) - нечетная.
f(-x) = -x - (-x)³ = -(x - x³) ⇒ f(-x) = -f(x) - функция нечетная.
3. Пересечение с осями.
1) пересечение с осью Ох ⇒ у = 0
х - х³ = 0
х(1 - х)(1 + х) = 0 ⇒ х₁ = 0; х₂ = 1; х₃ = -1.
2) пересечение с осью Оу ⇒ х = 0
у = 0
4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет.
Наклонная y = kx + b
⇒ наклонных асимптот нет.
5. Возрастание, убывание, точки экстремумов.
Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.
f'(x) = 1 - 3x²
f'(x) = 0 ⇒ (1 - √3 x)(1 + √3 x)
x₁ = 1/√3 ≈ 0,6; x₂ = -1/√3 ≈ -0,6
Знаки:
- Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.
Функция возрастает на промежутке: [-0,6; 0,6];
Функция убывает на промежутках: (-∞; -0,6]; [0,6; +∞)
- Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке - минимум.
⇒ x min = -0,6; x max = 0,6.
f(-0,6) = -0,4; f(0,6) = 0,4
6. Выпуклость, вогнутость.
Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю и найдем корни. Отметим их на числовой оси и определим знаки второй производной на промежутках.
f''(x) = -6x
f''(x) = 0 ⇒ x = 0
- Если производная второго порядка положительна, функция вогнута, если отрицательна - выпукла.
Функция вогнута на промежутке: (-∞; 0];
Функция выпукла на промежутке [0; +∞)
х перегиба = 0
Строим график.
