Найти частное решение уравнения y"-2y'=x^2-1 удовлетворяющее начальным условиям y(0)=0, y'(0)=9/4. помогите пожалуйста

Для решения данного уравнения мы сначала должны найти общее решение его однородной части y'' - 2y' = 0. Характеристическое уравнение будет иметь вид r^2 - 2r = 0, решив которое мы получим r1 = 0 и r2 = 2. Таким образом, общее решение однородной части будет иметь вид: yh(x) = c1 + c2*e^(2x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Для нахождения частного решения неоднородной части y'' - 2y' = x^2 - 1 можно воспользоваться методом вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид yp(x) = ax^2 + bx + c. Тогда y' = 2ax + b и y'' = 2a.

Подставляя yp(x) и его производные в исходное уравнение, получаем: 2a - 4ax - 2b = x^2 - 1. Коэффициенты при x^2 и x должны быть одинаковыми, поэтому:

-4a = -1 => a = 1/4

-2b = -1 => b = 1/2

Таким образом, частное решение имеет вид: yp(x) = (1/4)*x^2 + (1/2)*x + c.

Для нахождения конкретного значения постоянной c мы используем начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 9/4:

y(0) = (1/4)*0^2 + (1/2)*0 + c = 0 => c = 0

y'(0) = (1/4)*2*0 + (1/2) = 1/2

Таким образом, частное решение имеет вид: yp(x) = (1/4)*x^2 + (1/2)*x, а общее решение неоднородного уравнения:

y(x) = yh(x) + yp(x) = c1 + c2*e^(2x) + (1/4)*x^2 + (1/2)*x.