Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, діагональ основи якої дорівнює 10 см, а бічне ребро утворює з площиною основи 30°.

Ответ:

При виконанні цієї задачі важливо знати формулу об’єму правильної чотирикутної піраміди:

V = (1/3) * S_base * h,

де V - об’єм піраміди, S_base - площа основи піраміди, а h - висота піраміди.

Діагональ основи може бути розкладена на дві взаємно перпендикулярні сторони чотирикутної основи, що утворюють прямокутний трикутник. Тому, якщо площа основи складається зі сторони a, то маємо:

a^2 = (10 см)^2 / 2 = 50 см^2

Оскільки бічне ребро утворює з площиною основи кут 30°, то можна скористатися формулою косинусів для знаходження висоти піраміди:

h = √(b^2 - (a/2)^2),

де b - довжина бічного ребра піраміди.

Так як бічне ребро утворює з площиною основи кут 30°, то кут між вершиною піраміди і центром основи становить 60°. Таким чином, косинус 60° дорівнює 1/2, тому можна записати:

b = 2 * h / √3

b = 2 * √(3b^2/4 - 25) / √3

Тепер можна знайти площу основи та висоту піраміди:

S_base = a^2 = 50 см^2

h = √(b^2 - (a/2)^2) = √(3b^2/4 - 25) = √(3*(4/3)*V/50 - 25)

Далі, застосовуючи формулу об’єму піраміди, маємо:

V = (1/3) * S_base * h = (1/3) * 50 см^2 * √(3*(4/3)*V/50 - 25)

Після декількох алгебраїчних перетворень можна знайти об’єм піраміди:

V = (250/3) * (√3 - 1) см^3

Отже, об’єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює (250/

Объяснение: