[80 баллов] Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках D, E и F. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный, если углы треугольника DEF равны 62°, 73° и 45°.

Ответ:

Для доведення, що треугольник ABC є прямокутним, можна скористатися властивостями вписаної у треугольник окружності та взаємодії між кутами вписаного чотирикутника та центральними кутами дуг, які вона дотикається.

Позначимо точки дотику окружності зі сторонами треугольника ABC як D, E і F, відповідно. Оскільки окружність вписана в треугольник ABC, то кожна зі сторін треугольника є дотичною до окружності, а отже, кут BAF = кут BCF, кут CBE = кут CDE та кут ABD = кут ACD.

Далі, оскільки DEFA - це трапеція, то кут DEF = кут DFE (конгруентні кути протилежних сторін трапеції). Оскільки кут DEF = 45°, то кут DFE також дорівнює 45°.

За умовою задачі, кути DEF, DFE та EFD в треугольнику DEF мають відповідні значення 62°, 73° та 45°. Оскільки сума всіх кутів в треугольнику дорівнює 180°, то кут EFD = 180° - 62° - 73° - 45° = 0°.

Отже, кут EFD в треугольнику DEF дорівнює 0°, що означає, що точка F - це середня точка на діаметрі окружності, який є дотичним до сторони AC треугольника ABC.

Оскільки точка F - це середня точка на діаметрі, то кут AFC - прямий кут (90°). Оскільки кут AFC є внутрішнім кутом треугольника ABC, то це означає, що треугольник ABC є прямокутним, з протилежними сторонами AC і BC утворюється прямий кут у точці A. Таким чином, теорема доведена, і треугольник ABC є прямокутним за умовами задачі.

Объяснение: