Дослідіть функцію у = х^4 - 4х^2 та побудуйте її графік

Ответ:

Функция четная:

y(–x)=(–x)4–4·(–x)2=x4–4x2=y(x)

y`=4x3–8x

y`=0

4x3–8x=0

4x·(x2–2)=0

x=0 или x= ± √2 – точки возможного экстремума.

Применяем достаточное условие, т.е проверяем знак производной:

__–_ (–√2) __+___ (0) ___–___ ( √2) __+___

y`<0 ⇒ функция убывает на (– ∞ ;–√2) и на (0; √2)

y`> 0 ⇒ функция возрастает на (–√2; 0) и на (√2; + ∞ )

x= ± √2 – точки минимума, производная меняет знак с – на +

y(± √2 )=(± √2 )4–4·(± √2 )2=4–4·2=–4

x=0 – точка максимума, производная меняет знак с + на –

y(0)=0

y``=(4x3–8x)`

y``=12x2–8

y``=0

12x2–8=0

3x2–2=0

x= ± √2/3 – точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак:

_+_ ( –√2/3) __–__ ( √2/3) __+__

Функция выпукла вниз на (–√2/3; √2/3)

выпукла вверх на (– ∞ ;–√2/3) и на (√2/3; + ∞ )

Объяснение: