Помогите пожалуйста решить задачу ,
Ответы
Ответ:
слишком длинный, чтобы переписывать его сюда.
Объяснение:
Пусть искомая кривая задана уравнением y=y(x), и точка лежит на этой кривой. Как известно, угловой коэффициент касательной равен
поэтому угловой коэффициент нормали равен
Отсюда уравнение нормали имеет вид
Чтобы узнать, где нормаль пересекает ось OY, нужно подставить x=0:
Для нахождения длины требуемого отрезка нормали найдем расстояние между концами и
этого отрезка:
Расстояние же от начала координат O(0;0) до точки A равно
Остается приравнять эти расстояния:
Заметим, что это была произвольная точка кривой, поэтому естественно окончательное дифференциальное уравнение записать, опуская индекс:
Точнее, здесь два дифференциальных уравнения -
и
Решаем сначала первое уравнение:
При C=0 получаем y=±x - это биссектрисы координатных углов.
При C>0 получаем гиперболу с асимптотами y=±x, действительной осью которой является ось OY.
При C<0 получаем гиперболу с асимптотами y=±x, действительной осью которой является ось OX.
Переходим ко второму уравнению:
Ясно, что здесь нас устраивают только значения C>0, при этом мы получаем окружности с центром в начале координат и радиусом
Замечание. То, что для окружностей выполнено условие задачи, очевидно, как и для биссектрис координатных углов. Для гипербол это не так очевидно.