ABC равнобедренный треугольник, BK высота.Какова наименьшая площадь треугольника АВС, если длина прямой КМ от точки К до наклона ВС равна 4

Ответ:

Наименьшая площадь треугольника равна 32 ед.²

Пошаговое объяснение:

ABC равнобедренный треугольник, BK высота.Какова наименьшая площадь треугольника АВС, если длина прямой КМ от точки К до наклонной ВС равна 4.

Дано: ΔАВС - равнобедренный.

ВК - высота;

КМ = 4.

Найти: наименьшую площадь ΔАВС.

Решение:

Рассмотрим ΔКВС - прямоугольный.

• Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

⇒ КМ ⊥ ВС

Пусть СМ = х, ВМ = у

• Квадрат высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

⇒ КМ² = СМ · ВМ

16 = ху   ⇒  у = 16/х

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая проведена к этой стороне.

S(ΔКВС) = 1/2 · ВС · КМ = 1/2 · (х + у) · 4 = 2(х + у)

Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.

• Высота, проведенная из вершины к основанию, делит равнобедренный треугольник на два равных треугольника.

⇒    

Получили функцию S(x).

Найдем наименьшую площадь.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни.

Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x max = -4;     x min = 4

При х = 4 функция S(x) будет иметь наименьшее значение.

Найдем наименьшую площадь ΔАВС:

Наименьшая площадь треугольника равна 32 ед.²

#SPJ1