У місті живе кухар, який хоче продати купцю свої залишки каструль. Коли купець запитав його, скільки у нього каструль, він відповів, що рахувати він вміє лише до 100. Але купець запитав у нього певні питання і з них зрозумів:
Якщо кількість горщиків розділити на два, залишиться одна.
Якщо їх розділити на три, то залишиться одна.
Якщо їх розділити на чотири, то залишиться одна.
Якщо їх поділити на пʼять, то залишиться одна.
Якщо їх поділити на шість, то залишиться одна.
Якщо їх розділити на сім, то залишиться одна.
Якщо їх поділити на вісім, то залишиться одна. :
Якщо їх розділити на девʼять, то залишиться одна.
Якщо їх поділити на десять, то залишиться одна.
Але якщо їх розділити на одинадцять, то каструль не залишиться.
Потрібно знайти найменшу можливу кількість каструль у майстра.
Ответы
Ответ: 25201 найменша кількість каструль у майстра
Пошаговое объяснение:
a ≡ b (mod c)
Данная запись означает , что при делении числа a на число с выходит остаток b
Пусть число кастрюль равно 11k
По условию сказано , что
1) 11k ≡ 1 (mod 2)
2) 11k ≡ 1 (mod 3)
....
10) 11k ≡ 1 (mod 10)
Найдем НОК (2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10) = 2³·3²·5·7 = 40·63 = 2520
Тогда согласно Китайской теореме об остатках :
11k ≡ 1 (mod 2520)
11k - 1 ⁝ 2520
(11k - 1 + 2520) ⁝ 2520
11k + 2519 ⁝ 2520
Заметим , что 9 + 5 - (2+1) = 11 ⇒ 2519 ⁝ 11
2519 = 229·11 , 229-простое ⇒
11k + 229·11 ⁝ 2520
11·(k + 229) ⁝ 2520
Поскольку 2520 некратно 11 , то k + 229 ⁝ 2520
Так как нам нужно найти наименьшее число кастрюль , то
k + 229 = 2520
k = 2291
11k = 11·2291 = 25201
#SPJ1