Предмет: Математика, автор: clownbut

Математика 10-11. Профиль.

Приложения:

Ответы

Автор ответа: lilyatomach

Ответ:

$9.y=\dfrac{\sqrt{3} }{2} x+\dfrac{3-\sqrt{3}\pi }{12}$

10. 1- наименьшее значение; $\dfrac{\pi }{2}-$ наибольшее значение.

12. $\dfrac{\pi }{2}+\pi k; -\dfrac{\pi }{4}+\pi k,~k\in\mathbb {Z} .$

Пошаговое объяснение:

9. Написать уравнение касательной к графику функции $f(x) =sin^{2} x$ в точке $x{_0}=\dfrac{\pi }{6}$

Уравнение касательной в общем виде: $y=f(x{_0}) +f'(x{_0})\cdot ( x -x{_0})$

Найдем значение функции в точке

$f\left(\dfrac{\pi }{6} \right) =sin^{2} \left(\dfrac{\pi }{6} \right) =\left(\dfrac{1}{2} \right)^{2} =\dfrac{1}{4}$

Найдем производную функции и ее значение

$f'(x) =(sin^{2} x)'= 2sinx \cdot (sinx)'=2sinx\cdot cosx =sin2x$

$f'\left(\dfrac{\pi }{6} \right)= sin\left(2\cdot \dfrac{\pi }{6}\right )=sin \dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\sqrt{3} }{2}$

Подставим найденные значения в общее уравнение касательной

$y= \dfrac{1}{4} +\dfrac{\sqrt{3} }{2} \cdot \left(x- \dfrac{\pi }{6} \right)= \dfrac{1}{4} +\dfrac{\sqrt{3} }{2} x- \dfrac{\sqrt{3} }{2}\cdot \dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{1}{4} +\dfrac{\sqrt{3} }{2} x- \dfrac{\sqrt{3}\pi }{12};\\\\y=\dfrac{\sqrt{3} }{2} x+\dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{3}\pi }{12}=\dfrac{\sqrt{3} }{2} x+\dfrac{3-\sqrt{3}\pi }{12}$

$y=\dfrac{\sqrt{3} }{2} x+\dfrac{3-\sqrt{3}\pi }{12}-$ уравнение касательной .

10. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции $f(x) =x +cos^{2} x$ на отрезке $\left[0;\dfrac{\pi }{2} \right]$

Найдем производную функцию

$f'(x) =x' +(cos^{2} x)'= 1 +2cosx \cdot (cosx)'=1+2cosx \cdot(-sinx)=\\\\=1-2sinxcosx =1- sin2x$

Найдем критические точки, решив уравнение: $f'(x)=0$

$1- sin2x =0;\\sin2x=1;\\\\2x= \dfrac{\pi }{2} +2\pi k,~k\in\mathbb {Z};\\\\x= \dfrac{\pi }{4} +\pi k,~k\in\mathbb {Z}$

Заданному отрезку $\left[0;\dfrac{\pi }{2} \right]$ принадлежит только $\dfrac{\pi }{4}$

Поэтому найдем значение функции на концах отрезка и в данной точке .

$f(0) =0 +cos^{2} 0=0+1^{2} =1;$

$f\left(\dfrac{\pi }{4}\right ) =\dfrac{\pi }{4} +cos^{2} \left(\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\pi }{4} +\left(\dfrac{\sqrt{2} }{2} \right)^{2} =\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{2}{4} =\dfrac{\pi }{4} +\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi +2}{4} ;$

$f\left(\dfrac{\pi }{2}\right ) =\dfrac{\pi }{2} +cos^{2} \left(\dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{\pi }{2} +0^{2} =\dfrac{\pi }{2} +0 =\dfrac{\pi }{2} .$

Сравним полученные значения и получим 1 - наименьшее значение, а $\dfrac{\pi }{2}-$ наибольшее значение.

12. Решить уравнение: $sin^{2} x - 5cos^{2} x +1 = sin2x - 2cos2x.$

Воспользуемся формулами

$sin2x =2sinxcosx;\\cos2x =cos^{2} x - sin^{2}x ; \\sin^{2}x+cos^{2} x=1.$

$sin^{2} x - 5cos^{2} x +1 = sin2x - 2cos2x;\\sin^{2} x - 5cos^{2} x +(sin^{2}x+cos^{2} x) = 2sinxcosx - 2 ( cos^{2} x- sin^{2} x);\\sin^{2} x - 5cos^{2} x +sin^{2}x+cos^{2} x = 2sinxcosx - 2 cos^{2} x+2 sin^{2} x;\\2sin^{2} x-4cos^{2} x-2sinxcosx+2cos^{2} x-2sin^{2} x=0;\\-2cos^{2} x -2sinxcosx=0|:(-2);\\cos^{2} x +sinxcosx=0;\\cosx( cosx +sinx)=0;$

$\left [\begin{array}{l} cosx=0 , \\ cosx +sinx = 0|:cos\neq 0; \end{array} \right.\Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{2}+\pi k,~k\in\mathbb {Z} , \\ \\tgx = -1; \end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left [\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi }{2}+\pi k,~k\in\mathbb {Z} , \\ \\x = -\dfrac{\pi }{4}+\pi k,~k\in\mathbb {Z} \end{array} \right.$