Предмет: Математика, автор: centr17821

Математика, завдання 2 і 3 на фото
Будь ласка, виконайте на листочку

Приложения:

Ответы

Автор ответа: reygen

Ответ:
1. 2√3

2. 4 - ln27 ед²

Пошаговое объяснение:

№2

Вычислите интеграл

$\displaystyle \int\limits^\pi _ {0} \frac{dx}{\cos ^2 \frac{x}{6} }$

Введем замену

$t = \dfrac{1}{6}x \\\\ dt = \dfrac{1}{6} dx \\\\ dx = 6dt$

И получаем

$\displaystyle \int\limits \frac{dx}{\cos ^2 \frac{x}{6} } = \int\limits \frac{1}{\cos ^2 t } \cdot 6\; dt = 6 \mathrm{tg}~ t +C \\\\ \int\limits ^{\pi }_0 \frac{dx}{\cos ^2 \frac{x}{6} } = \Big ( 6 \mathrm { tg }\frac{x}{6 } \Big ) \Bigg |^\pi _ {0} = 6 ( \mathrm { tg }\frac{\pi }{6} - \mathrm { tg } ~0) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3} }{3} = 2\sqrt{3}$

№3 Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями

$y = \dfrac{3}{x} ~ , ~ y = - x + 4$

Найдем точки пересечения данных прямых

$\dfrac{3}{x} = -x + 4 \\\\ -x^2 + 4x = 3\\\\ x^2 - 4x + 3 = 0 \\\\ (x-1)(x-3) = 0$

x₁ = 1 , x₂ = 3

Найдем площадь данной фигуры

$\displaystyle \int\limits^3_1 \bigg ( -x + 4 - \frac{3}{x} \bigg ) \, dx = \bigg ( -\frac{x^2}{2}+ 4x - 3\ln x \bigg ) \Bigg | ^3_1 = \\\\\\ = \Big (- 4, 5 + 12- 3 \ln 3 \Big - (-0,5 +4 - 3\ln 1) \Big) = 7,5 - \ln 27 - 3,5 = 4 - \ln 27$