Предмет: Алгебра, автор: tina2722

Доказать, что для любого натурального n выполняется равенство:

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Amalgamma143
1

\displaystyle \frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{4}\left(\frac{n}{2n-1}+\frac{n}{2n+1}\right)=\\\\=\frac{1}{4}\left(\frac{n-0.5+0.5}{2n-1}+\frac{n+0.5-0.5}{2n+1}\right)=\\\\=\frac{1}{8}\left(2+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)

Когда мы сложим много таких слагаемых с различными n, у нас первые слагаемые много раз сложатся, а вот вторые и третьи почти везде уничтожат друг друга. Останется только

\displaystyle \frac{1}{2\cdot1-1} = 1

и

\displaystyle-\frac{1}{2n+1}

Поэтому в итоге сумма первых n слагаемых будет равна

\displaystyle\frac{1}{8}\left(2n+1-\frac{1}{2n+1}\right)= \frac{1}{8}\frac{4n^2+4n}{2n+1} = \frac{n(n+1)}{2(2n+1)}

Предыдущий вопрос
Следующий вопрос
Интересные вопросы
Предмет: Химия, автор: artemsapka516
СРОЧНО ДАЮ 50 БАЛЛОВ 8 КЛАСС
1 год назад
Предмет: Алгебра, автор: daria140415
Спростити вираз
(a3 + a² - a) + (2a²-5a + 3a3) - (4a3 - 6a+2a2)
помогите пожалуста​
1 год назад
Предмет: История, автор: gggll82
Кестемен жұмыс. Қазақстанда өнеркәсіптің дамуы туралы қосымша материал жинап жүйе- лендер. Бұл мәліметтерді кесте түрінде дәптерге жазыңдар. Казакстан өнеркәсібінің салалары және кәсіпорындары Дамуындағы артықшылықтары Кемшіліктері мен мәселелері​
1 год назад
Предмет: Математика, автор: 23562459
неравенство решите аха
7 лет назад
Предмет: Физика, автор: mrzip15
Лампу накаливания с параметрами Uраб = 12 В, и Р = 60 Вт необходимо включить в сеть напряжением U = 220 В, частотой 50 Гц. В качестве гасящего сопротивления используется конденсатор. Определите емкость и рабочее напряжение конденсатора.
7 лет назад