Даны вершины пирамиды
A1,A2,A3,A4 Найти: длину ребра
A1,A2
A1(5;2;0), A2 (2;5;0), A3 (1;2;4), A4 (-1;1;1)

Ответ:Даны координаты пирамиды: A1(2,-2,1), A2(10,2,2), A3(6,1,2), A4(8,4,4)

1) Координаты векторов.

Координаты векторов находим по формуле:

X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi

здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;

Например, для вектора A1A2

X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1

X = 10-2; Y = 2-(-2); Z = 2-1

A1A2(8;4;1)

A1A3(4;3;1)

A1A4(6;6;3)

A2A3(-4;-1;0)

A2A4(-2;2;2)

A3A4(2;3;2)

Модули векторов (длина ребер пирамиды)

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

|a| = √(X²+Y²+Z²).

Длина ребра А1А2 равна:

А1А2 = √((8² + 4² + 1²) = √(64 + 16 + 1)  = √81 = 9.

2) Найдем угол между ребрами A1A2(8;4;1) и A1A4(6;6;3):

cos α = (8*6+4*6+1*3)/(9*9) = (48+24+4)/81 = 76/81 =  0,925926.

α = arccos(0.925926) = 0,387317 радиан = 22,19161°.

3) Площадь грани А1А2А3.

Площадь грани можно найти по формуле:

S = (1/2)*|a|*|b|*sin α,

где sin α = √(1 - cos²α).

Найдем площадь грани A1A2A3

Найдем угол между ребрами A1A2(8;4;1) и A1A3(4;3;1):

cos α = (8*4+4*3+1*1)/(9*√26) =  45/45,89118 = 0,980581.

sin α = √(1 -  0,980581²) =  0,196116.

Площадь грани A1A2A3 равна:

S = (1/2)*9*√26* 0,196116 = 4,5 кв.ед.

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

i       j       k

8      4      1

4      3      1  =

= i(4*1-3*1) - j(8*1-4*1) + k(8*3-4*4) = i - 4j + 8k.

S = (1/2)*√(1²+4²+8²) = (1/2)*√81 = 4,5 кв.ед.

4) Объем пирамиды.

Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

              X1   Y1    Z1

(1/6)*    X2    Y2    Z2

             X3    Y3   Z3 =

          = 8       4     1

             4       3     1

             6       6     3

Находим определитель матрицы

∆ = 8*(3*3-6*1)-4*(4*3-6*1)+6*(4*1-3*1) = 6.

V = (1/6)*6 = 1 куб.ед.