Помогите срочно
1.При дослідженні деякої планети виявилося, що супутник, запущений на висоту, що дорівнює 1% від радіуса планети на її екваторі залишається нерухомим відносно планети. Період обертання планети навколо її осі 6 годин. Визначте середню густину планети. Гравітаційна стала G=6,67 · 10-11 Н м²/кг2.

2.Мешканцям Марса, якби такі існували, або космонавтам на ньому сонячний диск представлявся б під кутом 22'. Знаючи, що лінійний радіус Сонця дорівнює 109 земним радіусам, знайти, за який час світло від Сонця потрапляє на Марс. Радіус Землі В = 6400 км

Ответ:

Для розв'язання цієї задачі можна скористатися умовою рівноваги супутника, який залишається нерухомим відносно планети на певній відстані від її центра.

Гравітаційна сила, яка діє на супутника, дорівнює силі центростремління, яка спрямована від центру планети до супутника. Гравітаційна сила може бути обчислена за законом всесвітньої тяжіння Ньютона:

\[ F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}} \]

де \( F \) - гравітаційна сила, \( G \) - гравітаційна стала, \( M \) - маса планети, \( m \) - маса супутника, \( r \) - відстань від центра планети до супутника.

Також, можна використати формулу для центростремління:

\[ F = \frac{{m \cdot v^2}}{r} \]

де \( v \) - лінійна швидкість супутника.

Оскільки супутник залишається нерухомим відносно планети, його лінійна швидкість \( v = 0 \). Тому рівняння виглядає наступним чином:

\[ \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}} = \frac{{m \cdot 0^2}}{r} \]

З цього можна вивести вираз для маси планети \( M \):

\[ M = \frac{{G \cdot r^3}}{{0^2}} \]

Тепер, знаючи, що період обертання планети навколо її осі дорівнює 6 годинам (або 21600 секундам), можемо використати формулу для періоду обертання:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{{r^3}}{{G \cdot M}}} \]

Підставляючи значення для періоду (\( T = 21600 \) секунд) та вираз для маси (\( M = \frac{{G \cdot r^3}}{{0^2}} \)), отримаємо:

\[ 21600 = 2\pi\sqrt{\frac{{r^3}}{{G \cdot \frac{{G \cdot r^3}}{{0^2}}}}} \]

Спростимо рівняння та розв'яжемо його для \( r \) (відстань від центра планети до супутника). Після знаходження значення \( r \) можна використати його для знаходження маси планети \( M \) за виразом \( M = \frac{{G \cdot r^3}}{{0^2}} \).

Важливо враховувати, що гравітаційна стала \( G \) дорівнює \( 6,67 \times 10^{-11} \, \text{Н м}^2/\text{кг}^2 \).

2) Для знаходження часу, за який світло від Сонця потрапляє на Марс, можемо скористатися геометричними зв'язками та знанням кутового розміру сонячного диска, який становить 22 хвилини дуги або \(22' = \frac{22}{60}^\circ\).

Перше, що нам потрібно знати - це відстань від Землі до Сонця, яка дорівнює приблизно 149.6 мільйонів кілометрів.

Тепер ми можемо використати трикутникову геометрію для знаходження відстані, яку пройде світло від Сонця до Марса. Розглянемо трикутник, де кут між радіусами Сонця і Марса - це кут 22 хвилини (або \(\frac{22}{60}^\circ\)) і відомий радіус Сонця в 109 разів більший за радіус Землі. Ми шукаємо відстань від Сонця до Марса.

Використовуючи тригонометричні функції, можна записати:

\[ \tan\left(\frac{22'}{2}\right) = \frac{{\text{Радіус Марса}}}{{\text{Відстань від Сонця до Марса}}} \]

Після підставлення відомих значень можна розв'язати це рівняння для відстані від Сонця до Марса. Після знаходження відстані можна визначити час, за який світло потрапляє на Марс, використовуючи відому швидкість світла \(c\):

\[ \text{Час} = \frac{{\text{Відстань від Сонця до Марса}}}{{\text{Швидкість світла}}} \]