1. У школі відбулися три олімпіади. З’ясувалося, що в кожній з них брали участь по 50 школярів. При цьому 60 учнів приходили тільки на одну олімпіаду, а 30 учнів – рівно на дві. Скільки учнів брали участь в усіх трьох олімпіадах?
2. Усередині тупого кута АОВ провели три промені ОС, ОD і ОЕ, причому ОС перпендикулярний до ОА, ОD – бісектриса кута АОВ і ОЕ - бісектриса кута ВОС. Знайдіть величину кута DOE.
3. У ящику 25 кг цвяхів. Як за допомогою шалькових терезів і однієї гирі в 1 кг за два зважування відміряти 19 кг цвяхів.
4. Денис купив зошит обсягом 96 аркушів і занумерував сторінки: 1, 2, 3 … 192. Василько вирвав із зошита 25 аркушів (не обов’язково по порядку) і склав усі числа які на них написані. Чи міг він дістати число 2012?
5. До кожної клітинки таблиці розміром 3×3 записали по одному додатному числу. Добуток чисел у кожному рядку і в кожному стовпчику дорівнює 1, а добуток чисел у кожному квадраті розміром 2×2 дорівнює 2. Яке число стоїть в центральній клітинці таблиці?

Ответ:

1. Давайте позначимо кількість учнів, які взяли участь в різних кількостях олімпіад:

- Позначимо A як кількість учнів, які взяли участь лише в одній олімпіаді.

- Позначимо B як кількість учнів, які взяли участь в точно двох олімпіадах.

- Позначимо C як кількість учнів, які взяли участь в усіх трьох олімпіадах.

За умовою відомо, що:

A = 60

B = 30

Також відомо, що загальна кількість учасників на всіх олімпіадах дорівнює 3 * 50 = 150. Тоді ми можемо скласти рівняння на основі принципу включень і виключень:

A + B + C = 150

Підставляючи відомі значення A і B, ми отримуємо:

60 + 30 + C = 150

Після вирішення рівняння, отримаємо кількість учнів, які взяли участь в усіх трьох олімпіадах (C).

2. Для знаходження величини кута DOE, давайте розглянемо кут АОВ та факт, що ОD та ОЕ є бісектрисами відповідних кутів.

Оскільки ОD є бісектрисою кута АОВ, то куті АОD і DOV рівні між собою. Так само, ОЕ є бісектрисою кута ВОС, тому кути ВОE і COE рівні між собою.

Отже, ми можемо висловити величину кута DOE як суму кутів АОD і ВОE:

DOE = АОD + ВОE

3. Для вимірювання 19 кг цвяхів за допомогою шалькових терезів та однієї гирі в 1 кг, виконайте наступні кроки:

- Спочатку зважте 1 кг гирю на одній шальці терезів та 1 кг цвяхів на іншій.

- Якщо терези залишаються у рівновазі, то це означає, що 1 кг гиря і 1 кг цвяхів мають однакову масу, і вам залишилося 24 кг цвяхів.

- Розділіть 24 кг цвяхів на дві рівні частини по 12 кг кожна.

- Покладіть одну з частин цвяхів на одну шальку терезів, а іншу частину на іншу шальку.

- Якщо терези залишаються у рівновазі, то обидві частини цвяхів мають однакову масу, і це означає, що кожна з них має масу 12 кг.

- Тепер ви знаєте, що 1 кг гиря і 12 кг цвяхів мають однакову масу. Тепер вам залишилося виміряти залишок 7 кг цвяхів.

4. Василько може скласти всі числа на вирваних аркушах, і тоді ми отримаємо послідовність чисел від 1 до 192. Щоб з'ясувати, чи він міг отримати число 2012, давайте подивимося, чи включається 2012 у цю послідовність.

Якщо ми включимо всі аркуши, то отримаємо суму:

1 + 2 + 3 + ... + 192 = (192 * 193) / 2 = 18528

Таким чином, максимальна можлива сума чисел на аркушах - 18528.

Отже, Василько не може отримати число 2012, оскільки 2012 менше за максимальну суму 18528.

5. Для знаходження числа в центральній клітинці таблиці, давайте розглянемо умови:

- Добуток чисел в кожному рядку дорівнює 1, тобто кожний ряд містить числа, які є взаємно оберненими.

- Добуток чисел в кожному стовпчику також дорівнює 1.

- Добуток чисел у кожному квад