Виробнича функція має вигляд: Q = 5·L·К. Ціна одиниці праці PL дорівнює 150 грн.; ціна одиниці капіталу PК дорівнює 1000 грн.
а) Визначте, при якому співвідношенні використовуваної праці і капіталу фірма мінімізує витрати при випуску 1000 одиниць продукту на день.
б) Визначте величину витрат при цьому обсязі випуску.

Ответ:

Пояснення та рішення нижче

Объяснение:

Перше, що ми зробимо, це знайдемо співвідношення використовуваної праці (L) і капіталу (K), при якому фірма мінімізує витрати на виробництво 1000 одиниць продукту на день.

Розглянемо витрати на виробництво 1 одиниці продукту. Використовуючи дану виробничу функцію Q = 5·L·K, ми можемо виразити витрати як:

Дано:

Співвідношення витрати праці до капіталу:

С = PL * L + PK * K,

де:

C - витрати на виробництво 1 одиниці продукту,

PL - ціна одиниці праці (150 грн),

PK - ціна одиниці капіталу (1000 грн).

Ми хочемо знайти таке співвідношення L і K, яке мінімізує витрати при виробництві 1000 одиниць продукту на день. Тобто:

Q = 1000 (обсяг випуску),

Знайдемо L і K, які мінімізують витрати:

1000 = 5·L·K.

Звідси ми отримуємо:

L * K = 200.

Тепер ми можемо підставити це значення в формулу витрат:

C = 150 * L + 1000 * K.

C = 150 * L + 1000 * (200 / L).

Знайдемо таке значення L, яке мінімізує цю функцію витрат. Для цього ми можемо взяти похідну від функції витрат по L і прирівняти її до нуля:

dC/dL = 150 - 200,000 / L^2 = 0.

200,000 / L^2 = 150.

L^2 = 200,000 / 150.

L^2 = 1333.33.

L ≈ 36.52.

Знайдемо K:

L * K = 200.

36.52 * K = 200.

K ≈ 200 / 36.52 ≈ 5.47.

Фірма мінімізує витрати при співвідношенні використовуваної праці і капіталу близько 36.52 одиниць праці до 5.47 одиниць капіталу при виробництві 1000 одиниць продукту на день.

Знайдемо величину витрат при цьому обсязі випуску:

C = 150 * L + 1000 * K.

C = 150 * 36.52 + 1000 * 5.47.

C ≈ 5478 грн.

Відповідь: витрати на виробництво 1000 одиниць продукту на день при зазначеному співвідношенні L і K становлять приблизно 5478 грн.