Обчисліть висоту АК та площу трикутника АВС, вершини якого містяться в точках: A (1, -2, 3), B (2, 4, 7), C (-3, -4, 0)

Для обчислення висоти трикутника та площі трикутника АВС, ми можемо скористатися векторними методами.

Обчислення векторів сторін трикутника:

Вектор AB = B - A = (2 - 1, 4 - (-2), 7 - 3) = (1, 6, 4)

Вектор AC = C - A = (-3 - 1, -4 - (-2), 0 - 3) = (-4, -2, -3)

Знаходження векторного добутку векторів AB і AC для отримання вектора нормалі до площини трикутника:

n = AB × AC

n = (1, 6, 4) × (-4, -2, -3)

Для знаходження векторного добутку можна використовувати правило "визначник":

n = (i j k)

( 1 6 4 )

(-4 -2 -3)

n = i(6*(-3) - 4*(-2)) - j(1*(-3) - 4*(-4)) + k(1*(-2) - 6*(-4))

n = i(-18 + 8) - j(-3 + 16) + k(-2 + 24)

n = i(-10) - j(13) + k(22)

n = (-10i - 13j + 22k)

Обчислення висоти трикутника за допомогою відстані від точки A до площини трикутника:

Для знаходження висоти h можемо використовувати формулу:

h = |n| / |AB|,

де |n| - довжина вектора n, а |AB| - довжина сторони AB.

Довжина вектора n:

|n| = √((-10)² + (-13)² + 22²) = √(100 + 169 + 484) = √753.

Довжина сторони AB:

|AB| = √(1² + 6² + 4²) = √(1 + 36 + 16) = √53.

Тепер можемо знайти висоту:

h = |n| / |AB| = √753 / √53 = √(753 / 53) = √(1413/53) ≈ 4.95.

Обчислення площі трикутника АВС:

Площа трикутника може бути обчислена за допомогою формули:

S = (1/2) * |AB| * h,

де |AB| - довжина сторони AB, а h - висота.

S = (1/2) * √53 * √(1413/53) = (1/2) * √1413 ≈ 18.83 квадратних одиниці.