1. Семь различных камней таковы, что любые шесть из них вместе весят меньше 6 кг. Докажите, что все семь камней вместе весят меньше 7 кг.

Ответ:

Предположим, что существует семь различных камней, при этом любые шесть из них вместе весят меньше 6 кг, но все семь вместе весят 7 кг или более.

Рассмотрим первые шесть камней. По условию, их суммарный вес меньше 6 кг. Теперь добавим седьмой камень. Если его вес больше 1 кг, то суммарный вес всех семи камней будет больше 6 кг, что противоречит предположению.

Таким образом, вес седьмого камня не может быть больше 1 кг. Поскольку у нас семь различных камней, их суммарный вес не может быть больше 6 + 1 = 7 кг.

Таким образом, мы пришли к выводу, что все семь камней вместе весят меньше 7 кг.