площа основи конуса дорівнює 16п. площина паралельна основі конуса перетинає його висоту DO в точці O1 так що DO1 :O1O=3:1 знайдіть радіус основи конуса який ця площина відтинає від заданого

Ответ:

Площадь основания конуса равна \(16\pi\), а отношение \(DO_1 : O_1O\) равно \(3:1\). Это означает, что точка \(O_1\) делит высоту \(DO\) на четыре части, и три из них приходятся на \(DO_1\), а одна на \(O_1O\).

Обозначим радиус основания конуса как \(r\) и высоту как \(h\). Тогда площадь основания конуса \(S\) связана с радиусом следующим образом:

\[S = \pi r^2\]

Также, по теореме Пифагора, получаем:

\[DO_1^2 = O_1O^2 + O_1D^2\]

Учитывая отношение \(DO_1 : O_1O = 3:1\), мы можем выразить \(O_1O\) и \(O_1D\) в терминах высоты \(h\):

\[O_1O = \frac{h}{4}, \quad O_1D = \frac{3h}{4}\]

Теперь, подставив это в уравнение Пифагора, получим:

\[\left(\frac{h}{4}\right)^2 = r^2 + \left(\frac{3h}{4}\right)^2\]

Решим это уравнение относительно \(r\):

\[\frac{h^2}{16} = r^2 + \frac{9h^2}{16}\]

Упростим:

\[r^2 = \frac{9h^2}{16} - \frac{h^2}{16} = \frac{8h^2}{16} = \frac{h^2}{2}\]

Теперь, зная, что \(S = \pi r^2\), подставим найденное значение \(r^2\):

\[S = \pi \cdot \frac{h^2}{2}\]

У нас также дано, что \(S = 16\pi\), поэтому:

\[16\pi = \pi \cdot \frac{h^2}{2}\]

Решим это уравнение относительно \(h\):

\[\frac{h^2}{2} = 16\]

\[h^2 = 32\]

\[h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\]

Теперь, зная \(h\), можем найти \(r\):

\[r^2 = \frac{h^2}{2} = \frac{(4\sqrt{2})^2}{2} = \frac{32}{2} = 16\]

\[r = \sqrt{16} = 4\]

Таким образом, радиус основания конуса \(r\) равен \(4\).

Пошаговое объяснение: