Предмет: Математика, автор: rubinvrubn

Помогите решить задачу:
sin³x + cos³x = ?
если sinx + cosx = A

Ответы

Автор ответа: Artem112

1

Ответ:

$\sin^3x + \cos^3x=\dfrac{3A-A^3}{2}$

Решение:

Преобразуем искомое выражение, пользуясь формулой суммы кубов:

$\sin^3x + \cos^3x=(\sin x+\cos x)(\sin^2x+\cos^2x-\sin x\cos x)$

Сумма синуса и косинуса известна по условию, сумма их квадратов равна 1 в силу основного тригонометрического тождества. Остается найти произведение синуса и косинуса. Рассмотрим известное соотношение:

$\sin x + \cos x = A$

Возведем в квадрат:

$(\sin x + \cos x)^2 = A^2$

$\sin^2x + \cos^2x+2\sin x\cos x = A^2$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$1+2\sin x\cos x = A^2$

$2\sin x\cos x = A^2-1$

$\sin x\cos x = \dfrac{A^2-1}{2}$

Возвращаемся к искомой сумме и получим:

$\sin^3x + \cos^3x=(\sin x+\cos x)(\sin^2x+\cos^2x-\sin x\cos x)=$

$=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=A\cdot \left(1- \dfrac{A^2-1}{2}\right)=$

$=A\cdot \dfrac{2-A^2+1}{2}=A\cdot \dfrac{3-A^2}{2}=\boxed{\dfrac{3A-A^3}{2}}$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Қазақ тiлi, автор: dawergulz16

Помогите дам 20 б заранее спасибо

1 год назад

Предмет: Українська мова, автор: vi050413mmo

фонетичний розбір цих слів: Григорій Тютюнник, народна мудрість

1 год назад

Предмет: Математика, автор: ivanka2012

2. На круговій діаграмі показано 120 секторів однакової площі. Яка градусна міра кута кожного сектора?
A:3° Б:30° В;3,6° Г:6°

1 год назад

Предмет: Қазақ тiлi, автор: arinakislova777

Үзінділерден қандай? деген сұраққа жауап беретін сөздерді тап.
Найдите сын есімдер

7 лет назад

Предмет: Русский язык, автор: dankarpetr92

Прочти отрывок и установи соответствия. Одному элементу могут соответствовать несколько характеристик.
Все это доныне сохранилось в моей памяти, так же как и горшки с бальзамином, и кровать с пестрой занавескою, и прочие предметы, меня в то время окружавшие. Вижу, как теперь, самого хозяина, человека лет пятидесяти, свежего и бодрого, и его длинный зеленый сертук с тремя медалями на полинялых лентах.
Не успел я расплатиться со старым моим ямщиком, как Дуня возвратилась с самоваром.

7 лет назад