Кут між векторами а і б дорівнює 60°, |а|=|b|=1. Обчисліть (a-b)(a+2b)

Ответ и объяснение:

Кут між векторами а і б дорівнює 60°, |а|=|b|=1.

Обчисліть (a-b)(a+2b).

Модуль (a – b) = √(1² + 1² - 2*1*1*cos(π/3)) =

                            =  √(1 + 1 – 2*(1/2)) = √1 = 1.

Модуль (a + 2b) = √(1² + (2*1)² - 2*1*(2*1)*cos(180-(π/3)) =

                         = √(1 + 4 - 4*(-1/2)) = √7.

Находим углы между векторами и вектором а, совпадающим с осью Ох.

cos(α1) = (1² + 1² - 1²)/(2*1*1) = 1/2.

      α1 = arccos(1/2) = 60 градусов.

cos(α2) = (1² + (√7)² - 2²)/(2*1*√7) = 2√7/7 ≈ 0,756.

      α2 = arccos(0,756) = 40,893градуса.

Отсюда находим угол между векторами.

α = α1 + α2 = 60 + 40,893 = 100,893 градуса.

Так как в задании не оговорено, какое произведение векторов:1) скалярное или 2) векторное, то рассмотрим оба варианта.

1) Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Длина вектора является его модулем.

(a – b)(a + 2b) = 1*√7*cos(100,893°) = -0,5.

2) Векторным произведением векторов a и b называют перпендикулярный им вектор c из правой тройки, модуль которого равняется произведению модулей векторов a и b на синус угла между ними.

(a – b)x(a + 2b) = 1*√7*sin(100,893°) = 2,598.