В треугольнике ABC угол В равен 120 градусам, а длинна стороны АВ на  меньше полупериметра треугольника. Найлите радиус окружности,  касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.

В треугольнике АВС угол В равен 120°, а длина стороны АВ на 3√3 меньше 
полупериметра треугольника. 
Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.
Сделаем рисунок.Окружность, радиус которой нужно найти - вневписанная. 
Если вневписанная окружность касается стороны ВC треугольника ABC, отрезки касательных от вершины А до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Это утверждение вытекает из того, чтопо свойству отрезков касательных из точки вне окружности отрезки от В до точек касания равны, равны и отрезки от С до точек касания. Сумма их с соответствующими сторонами треугольника является его полупериметром. Центр данной окружности лежит на биссектрисе угла СВЕ.
Так как этот угол смежный с углом АВС,он равен 60°, а угол ОВЕ=30°. 
Так как длина стороны АВ на 2√3 меньше полупериметра треугольника, а АЕ - равна полупериметру, то ВЕ=2√3.
ОЕ:ВЕ= tg (30°) = 1/√3
ОЕ:ВЕ=R:2√3
R:2√3 = 1/√3
R=2√3 ·1/√3=2
Радиус равен 2
Ответ: 2
Задача сложная, старалась делать как можно подробнее. Если что то не понятно, спрашивай