высота PH боковой грани PCD правильной 4-угольной пирамиды PABCD равна 4 корня из 3 и равна стороне CD основания пирамиды. найдите расстояние между прямыми АВ и PH.

Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат.
Сторона основания равна апофеме РН, следовательно,
средняя линия НМ квадрата  ABCD тоже равна РН.
Боковые грани - равнобедренные треугольники, и апофема РМ 
равна апофеме РН.
Основание высоты РО пирамиды - в точке пересечения диагоналей квадрата, высота перпендикулярна основанию, отсюда
сечение РНМ,  содержащее эту высоту, перпендикулярно  основанию,
а стороны треугольника НРМ равны.
∆ НРМ - правильный.
 НМ перпендикулярна АВ, отсюда
КМ перпендикулярна АВ,
т.к. НМ содержит ее проекцию ЕМ, перпендикулярную АВ ( теорема о 3-х перпендикулярах). 
⇒ высота КМ правильного треугольника КРН  в то же время общий 
перпендикуляр между РН  и АВ  
Углы ∆ НРМ равны 60°
∠КНМ=60°, 
КМ=НМ*sin*(60°)= 4√3*(√3):2= 6