к какой части речи относится вводное слово наконец-то

Вводные слова сами по себе не являются ни членами предложения (и не связаны с ними ни подчинительной, ни сочинительной связью) ни частью речи (чтобы отнести их к самостоятельным частям речи, надо задать вопрос, а они не члены предложения, значит, вопрос задать нельзя; и к служебным не относятся).
Это скорее слова, придающие тексту яркость, ясность.