Предмет: Алгебра, автор: Тополек13

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, точка О - точка пересечения диагоналей AC и BD. Известно, что S abo=4S bco, ВО=1, DO=16. Найти АС.

Ответы

Автор ответа: Матов

Обозначим угол $BOC=a$ . Тогда угол $BOA=180-a$ .
Площадь треугольника $S_{AOB}=frac{AO*1*cosa}{2}\ S_{BOC}=frac{OC*1*sina}{2}\\ S_{AOB}=4S_{BOC}\ S_{ABC}=frac{5OC*sina}{2}\\ S_{OCD}=8OCcosa\ S_{AOD}=8AOsina\ S_{CDA}=8OCcosa+8AOsina\\ S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{CDA}=2.5OC*sina+8OCcosa+8AOsina\$
но с другой стороны площадь четырехугольника равна
$S_{ABCD}=(AO+OC)*8.5*sina$
Тогда $2.5OC*sina+8OCcosa+8AOsina=(AO+OC)*8.5*sina$
По свойству хорд получаем
$AO*OC=16*1$
выражая и подставляя в уравнение
$2.5*frac{16}{AO}*sina+8*frac{16}{AO}*cosa+8*AO*sina=$ $(AO+frac{16}{AO})*8.5*sina$
откуда получаем что
$(AO^2+192)sina=256cosa\ AO^2=256ctga-192\$
но по условию $S_{ABO}=4S_{BCO}\ AO*OC=16\\ S_{ABO}=frac{AO*cosa}{2}\ S_{BOC}=frac{OC*sina}{2}\ frac{AO*cosa}{OC*sina}=4\ AO*cosa=4OC*sina\ frac{AO}{OC}=4tga\ frac{AO}{frac{16}{AO}}=4tga\ AO=8sqrt{tga}\\$
Уравнение
$256ctga-192=8sqrt{tga}$
Откуда решение
$x=frac{pi}{4}$ второй не подходит
Откуда $AO=8 OC=2\\ AC=8+2=10$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Алгебра, автор: malikasaeva10

П О Ж А Л У Й С ТА ПОМОГИТЕ

6 лет назад

Предмет: Математика, автор: bayasha123

4 целых 7/8 - 1 целая 3/4 + 2 целых 1/5 = ?
помогите пожалуйста

6 лет назад

Предмет: Английский язык, автор: yevasuvorova8