Предмет: Алгебра, автор: Richmad

ДАЮ 50 БАЛЛОВ!Помогите! Сколько корней имеет уравнение sin^2 x+ cos^2 2x+ cos^2(п/2+2x)cosxtgx=1 на промяжутке(0;2п) ? Сначала по форм приведения, потом упростить , представить в виде квадратного уравнения, посчитать его корни и дальше через производные. Я застрял на квадратном, не получается корни посчитать. помогите

Ответы

Автор ответа: Матов

$sin^2x+cos^22x+cos^2(frac{pi}{2}+2x)cosxtgx=1\\ sin^2x+cos^22x+sin^22x*sinx=1\\ sin^2x+(1-2sin^2x)^2+4sin^2x*cos^2x*sinx=1\\$
$sin^2x+(1-2sin^2x)^2+4sin^2x*cos^2x*sinx=1\\ sin^2x+(1-2sin^2x)^2+4sin^2x(1-sin^2x)*sinx=1\\ sinx=t\\ t^2(1-2t^2)^2+4t^2(1-t^2)*t=1\\ (t^2-1)(4t^4-4t^3+1)=0\\ t=+-1\\ 4t^4-4t^3+1=0\\$
Рассмотрим функцию
$f(t)=4t^4-4t^3+1 \\ f'(t)=16t^3-12t^2\\ 16t^3-12t^2=0\\ 4t^2(4t-3)=0\\ t=0\\ t=frac{3}{4}\\$
Так как область определения функция $t in (-infty;+infty)$ , на отрезке
$t in (-infty;frac{3}{4}]\\ f'(t)<0$ , на отрезке $t in [ frac{3}{4};+infty)\\ f'(t)>0$ возрастает .
Следовательно минимальное значение функций
$f(frac{3}{4}) = frac{37}{64}$ . График не будет пересекать ось $Ot$ .
Корни уравнения будут $t=+-1$
$x=pi*k$
откуда решения $x in pi;$