Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы  и  окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот треугольник.

Ну, вот треугольник ABC, С - прямой угол; CH - высота, оба треугольника ACH и BCH - подобны ABC; 
AB = c; AC = c*sin(α); BC = c*cos(α); α = угол ABC; 
то есть sin(α) и cos(α) - коэффициенты подобия (то есть отношение соответственных сторон треугольников ACH и ABC равно sin(α), отношение соответственных сторон треугольников BCH и ABC равно cos(α))
Ясно, что и радиусы вписанных окружностей связаны той же пропорцией (а почему?)
r1 = r*sin(α); r2 = r*cos(α);
откуда 
r^2 = (r1)^2 + (r2)^2;

Есть любопытное следствие. Если O, O1, O2 - центры этих трех окружностей, то OC = O1O2; :)))) а вот докажите :))))