Предмет: Алгебра,
автор: Майкc
Пусть t1, t2 - корни квадратного уравнения t^2 - t - 4 = 0. Известно, что t1^5 + 29t2 является целым числом. Найдите это число.
Ответы
Автор ответа:
0
По теореме Виета
![t_{1}t_{2}=-4\
t_{1}+t_{2}=1\\
t_{1}^5+29t_{2}=N\\](https://tex.z-dn.net/?f=t_%7B1%7Dt_%7B2%7D%3D-4%5C%0At_%7B1%7D%2Bt_%7B2%7D%3D1%5C%5C%0At_%7B1%7D%5E5%2B29t_%7B2%7D%3DN%5C%5C%0A "t_{1}t_{2}=-4\
t_{1}+t_{2}=1\\
t_{1}^5+29t_{2}=N\\")
Так как корни имеют вид
![t_{1}=frac{a+b}{2}\
t_{2}=frac{a-b}{2}\
t_{1}+t_{2}=1\
a=1\
t_{1}t_{2}=1-b^2=4*-4\
b=sqrt{17}\\
t_{1}^5+29t_{2}=(frac{a+b}{2})^5+29*frac{a-b}{2}=\\
frac{a^5+b^5+5ab(a+b)((a+b)^2-ab)}{32}+frac{29a-29b}{2}=\\
frac{1+sqrt{17}^5+5sqrt{17}(1+sqrt{17})((sqrt{17}+1)^2-sqrt{17})}{32}+frac{29-29sqrt{17}}{2} =\\
frac{1+289sqrt{17}+(5sqrt{17}+85)(18+sqrt{17})+16*29+16*29sqrt{17}}{32} = \\
frac{465+289sqrt{17}+90sqrt{17}+85*19+85sqrt{17} -464sqrt{17}}{32} = 65](https://tex.z-dn.net/?f=+t_%7B1%7D%3Dfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%5C%0At_%7B2%7D%3Dfrac%7Ba-b%7D%7B2%7D%5C%0At_%7B1%7D%2Bt_%7B2%7D%3D1%5C%0Aa%3D1%5C%0At_%7B1%7Dt_%7B2%7D%3D1-b%5E2%3D4%2A-4%5C%0Ab%3Dsqrt%7B17%7D%5C%5C%0At_%7B1%7D%5E5%2B29t_%7B2%7D%3D%28frac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%29%5E5%2B29%2Afrac%7Ba-b%7D%7B2%7D%3D%5C%5C%0Afrac%7Ba%5E5%2Bb%5E5%2B5ab%28a%2Bb%29%28%28a%2Bb%29%5E2-ab%29%7D%7B32%7D%2Bfrac%7B29a-29b%7D%7B2%7D%3D%5C%5C+%0Afrac%7B1%2Bsqrt%7B17%7D%5E5%2B5sqrt%7B17%7D%281%2Bsqrt%7B17%7D%29%28%28sqrt%7B17%7D%2B1%29%5E2-sqrt%7B17%7D%29%7D%7B32%7D%2Bfrac%7B29-29sqrt%7B17%7D%7D%7B2%7D++%3D%5C%5C%0Afrac%7B1%2B289sqrt%7B17%7D%2B%285sqrt%7B17%7D%2B85%29%2818%2Bsqrt%7B17%7D%29%2B16%2A29%2B16%2A29sqrt%7B17%7D%7D%7B32%7D+%3D+%5C%5C%0Afrac%7B465%2B289sqrt%7B17%7D%2B90sqrt%7B17%7D%2B85%2A19%2B85sqrt%7B17%7D+-464sqrt%7B17%7D%7D%7B32%7D+%3D+65 "t_{1}=frac{a+b}{2}\
t_{2}=frac{a-b}{2}\
t_{1}+t_{2}=1\
a=1\
t_{1}t_{2}=1-b^2=4*-4\
b=sqrt{17}\\
t_{1}^5+29t_{2}=(frac{a+b}{2})^5+29*frac{a-b}{2}=\\
frac{a^5+b^5+5ab(a+b)((a+b)^2-ab)}{32}+frac{29a-29b}{2}=\\
frac{1+sqrt{17}^5+5sqrt{17}(1+sqrt{17})((sqrt{17}+1)^2-sqrt{17})}{32}+frac{29-29sqrt{17}}{2} =\\
frac{1+289sqrt{17}+(5sqrt{17}+85)(18+sqrt{17})+16*29+16*29sqrt{17}}{32} = \\
frac{465+289sqrt{17}+90sqrt{17}+85*19+85sqrt{17} -464sqrt{17}}{32} = 65")
Ответ
Так как корни имеют вид
Ответ
Интересные вопросы
Предмет: Алгебра,
автор: lshuravko
Предмет: Химия,
автор: Аноним
Предмет: Українська мова,
автор: oksanaklevcuk
Предмет: Литература,
автор: Rostik20o1
Предмет: Биология,
автор: marina2302uln20