докажите,что число 100....004 (между 1 и 4 стоит любое число нулей)  не является квадратом целого числа 

Число  можно записать как     где 
Положим что существует такое число  , что 
 
воспользуемся таким фактом, квадрат числа сравним по модулю    c  и . 
Слева число четное так как оканчивается на цифру ,  так как число 
  а число    с , то остаток равен   что не верно  , не может быть что слева делиться а справа нет 
ч.т.д

10^k+4=x^2  10^k=x^2-4=(x-2)(x+2)  число
10^k  может иметь  делитель 10^n  5^n  2^n   n<=k
тогда  если  эти  числа будут делителем x-2,то  не одни из них  не будет делителем x+2 (на 4  больше) То есть  такое невозможно.