Предмет: Математика, автор: noskova95

Вычислить определенный интеграл (-1;1) х^3cosПx/4dx

Ответы

Автор ответа: Vart4786

$intlimits^1_{-1} {x^3cos( pi x/4)} , dx$
Будем интегрировать по частям:
$intlimits^a_b {f} , dg=fg- intlimits^a_b {g} , df$ , где:
$f=x^3\dg=cos( pi x/4)dx\df=3x^2dx\g=4sin( pi x/4)/ pi$
Тогда:
$intlimits^1_{-1} {x^3cos( pi x/4)} , dx =4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1-12/pi intlimits^1_{-1}{x^2sin( pi x/4)}dx$
Для интеграла $intlimits^1_{-1}{x^2sin( pi x/4)}dx$ используем также метод интегрирования по частям:
$intlimits^a_b {f} , dg=fg- intlimits^a_b {g} , df$ , где:
$f=x^2\dg=sin( pi x/4)dx\df=2xdx\g=-4cos( pi x/4)/ pi$
Тогда:
$4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1-12/pi intlimits^1_{-1}{x^2sin( pi x/4)}dx=\=4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1+48x^2cos( pi x/4)/ pi ^2|^1_{-1}-96/ pi ^2 intlimits^1_{-1} {xcos( pi x/4)} , dx$
Для интеграла $intlimits^1_{-1} {xcos( pi x/4)} , dx$ используем также метод интегрирования по частям:
$intlimits^a_b {f} , dg=fg- intlimits^a_b {g} , df$ , где:
$f=x\dg=cos( pi x/4)dx\df=dx\g=4sin( pi x/4)/ pi$
Тогда:
$4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1+48x^2cos( pi x/4)/ pi ^2|^1_{-1}-96/ pi ^2 intlimits^1_{-1} {xcos( pi x/4)} , dx=\=4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1+48x^2cos( pi x/4)/ pi ^2|^1_{-1}-384xsin( pi x/4)/ pi ^3|^1_{-1}+\+384/ pi ^3 intlimits^1_{-1} {sin( pi x/4)} , dx$
Для интеграла $intlimits^1_{-1} {sin( pi x/4)} , dx$ воспользуемся заменой переменой:
$u=sin( pi x/4)\du= pi dx /4$
Тогда:
$4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1+48x^2cos( pi x/4)/ pi ^2|^1_{-1}-\-384xsin( pi x/4)/ pi ^3|^1_{-1}+384/ pi ^3 intlimits^1_{-1} {sin( pi x/4)} , dx=$ $=4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1+48x^2cos( pi x/4)/ pi ^2|^1_{-1}-\-384xsin( pi x/4)/ pi ^3|^1_{-1}+1536/ pi ^4 intlimits^1_{-1} {sin(u)} , du=$ $=4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1+48x^2cos( pi x/4)/ pi ^2|^1_{-1}-\-384xsin( pi x/4)/ pi ^3|^1_{-1}-1536cos(u)/ pi ^4|^{pi/4}_{-pi/4}=\=4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1+48x^2cos( pi x/4)/ pi ^2|^1_{-1}-$ $-384xsin( pi x/4)/ pi ^3|^1_{-1}-1536cos(pi x/4)/ pi ^4|^{1}_{-1}=\=4(pi x(pi ^2x^2-96)sin(pi x/4)+12(pi ^2x^2-32)cos(pi x/4))/pi ^4|^1_{-1}=$ $=4(pi (pi ^2-96)sin(pi /4)+12(pi ^2-32)cos(pi /4))/pi ^4-\-4(-pi (pi ^2-96)sin(-pi /4)+12(pi ^2-32)cos(-pi /4))/pi ^4=\=4(pi (pi ^2-96)sin(pi /4)+12(pi ^2-32)cos(pi /4))/pi ^4-$ $-4(pi (pi ^2-96)sin(pi /4)+12(pi ^2-32)cos(pi /4))/pi ^4=0$
Ответ:
$intlimits^1_{-1} {x^3cos( pi x/4)} , dx =0$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: География, автор: vansot174

Конспект на тему: " Воздушные массы и атмосферные фронты "

6 лет назад

Предмет: Алгебра, автор: nucitsa

5. Представьте в виде многочлена выражение (-2a+b)(2a+b).

6 лет назад

Предмет: География, автор: levikanna25

растительность и животный мир в
степях Африки
ПОЖАЛУЙСТА

6 лет назад

Предмет: Алгебра, автор: Устиновичка

Как представить арифметический корень в виде степени с дробным показателем

10 лет назад

Предмет: Математика, автор: KrisTinaSamikk

Определите численный масштаб плана местности,если расстояние в 2 км показано на нем отрезком линии длиной 4 см

10 лет назад