Предмет: Алгебра, автор: атив1

Пусть p(x) это многочлен степени n такой, что |p(x)|<1 для всех действительных x таких, что |x|≤1 . Верно ли, что |p(2)|< $4^{n}$

Ответы

Автор ответа: Матов

$P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\ -1 leq x leq 1 \\$
оценим каждое слагаемое
$P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\ -1 leq x leq 1 \\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}<1\\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}>-1\\$
положим что
$a_{1}=a_{2}=a_{3}=...=a_{k}\\ P(1)=k*a_{k}<1\\ a_{k}<frac{1}{k}\\ kin N\\$
видно что $a_{k}<1\\$
$P(2)=a*2^{n}+a_{1}*2^{n-1}+a_{2}*2^{n-2}+...+a_{k}*2^{n-k} leq$ $2^n+2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{n-k}$
$a=1\\ S_{geom} =2(2^n-1)=2^{n+1}-2<4^n\\ 2^{2n}-2*2^n+2>0\\ D<0\$
а так как оценка идет сверху то она и справедлива снизу , верно

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Интересные вопросы

Предмет: Українська література, автор: polinkamalinkasofiya

помогите пожалуйста

6 лет назад

Предмет: Другие предметы, автор: diaraissamidinova

Вставь пропущенные слова:Масштаб-это_______которое показывает,во сколько раз______настоящие расстояния на чертеже.

6 лет назад

Предмет: Геометрия, автор: userks140720

Знайти площу трикутника з сторнами 15 26 37

6 лет назад

Предмет: Математика, автор: tumanovaG

Электричка идет из города Крюково со скоростью 65км/ч.Пассажир сел в электричку на станции,находящейся в 45 км от Крюково. На каком расстоянии от города он будет через 2часа?

10 лет назад

Предмет: Химия, автор: Alino4kapopova

к нелектролитам относится:
1)хлорид бария
2)серная кислота
3)нитрат железа 2
4)оксид углерода 2

10 лет назад