Предмет: Геометрия,
автор: LastUser
Задача средней сложности на нахождение площади треугольника. Эта задачка была сегодня на вступительных экзаменах МГТУ им. Баумана (так, чтоб вы знали чем имеете дело) и классифицировалась как легкая. Я ее решить не смог, прошу помощи у вас.
Приложения:
Ответы
Автор ответа:
0
Буду считать, что длины адекватные и треугольник из условия существует (определять "в общем случае" ограничения на CN и CM я не хочу).
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине последней (для док-ва достаточно удвоить медиану и заметить, что получился прямоугольник), так что AB = 2CN = c
Проведем медиану BX, из подобия треугольников AKC и ABC следует, что CM : BX = AC : AB или AC * BX = CM * AB = 2CM * CN = x
Теперь имеем такую задачу: найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой c, если произведение длин медианы и катета, к которому проведена медиана, равно x.
Её уже можно решать как угодно. Например, так:
Пусть катеты a и b, медиана ma = x/a. Теорема Пифагора для маленького и большого треугольников:
b^2 = ma^2 - (a/2)^2 = с^2 - a^2 - имеем уравнение на a^2.
4x^2 / a^2 - a^2 = 4c^2 - 4a^2
3a^4 - 4c^2 a^2 + 4x^2 = 0 - квадратное уравнение, пусть имеет 2 корня:
a^2 = (2c^2 +- sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3 = c^2 / 3 + (c^2 +- sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3
Оба корня положительны, так что всё в порядке.
b^2 = c^2 - a^2 = (c^2 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3 =
4S^2 = a^2 b^2 = c^2 (c^2 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 9 + (12x^2 - 3c^4) / 9
4S^2 = (12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2))/9
S^2 = 4/9 * (12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2))
S = 2/3 * sqrt(12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2))
Можно возвратиться и к исходным переменным, но намного красивей не станет.
2 решения возникают из-за того, что высота делит прямоугольник на 2 треугольника, и высота может быть проведена в каждом из них. Соответственно, возникают две конфигурации.
Вероятно, что одно решение будет в случае равнобедренного треугольника.
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине последней (для док-ва достаточно удвоить медиану и заметить, что получился прямоугольник), так что AB = 2CN = c
Проведем медиану BX, из подобия треугольников AKC и ABC следует, что CM : BX = AC : AB или AC * BX = CM * AB = 2CM * CN = x
Теперь имеем такую задачу: найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой c, если произведение длин медианы и катета, к которому проведена медиана, равно x.
Её уже можно решать как угодно. Например, так:
Пусть катеты a и b, медиана ma = x/a. Теорема Пифагора для маленького и большого треугольников:
b^2 = ma^2 - (a/2)^2 = с^2 - a^2 - имеем уравнение на a^2.
4x^2 / a^2 - a^2 = 4c^2 - 4a^2
3a^4 - 4c^2 a^2 + 4x^2 = 0 - квадратное уравнение, пусть имеет 2 корня:
a^2 = (2c^2 +- sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3 = c^2 / 3 + (c^2 +- sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3
Оба корня положительны, так что всё в порядке.
b^2 = c^2 - a^2 = (c^2 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 3 =
4S^2 = a^2 b^2 = c^2 (c^2 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2)) / 9 + (12x^2 - 3c^4) / 9
4S^2 = (12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2))/9
S^2 = 4/9 * (12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2))
S = 2/3 * sqrt(12x^2 - 2c^4 -+ sqrt(4c^4 - 12x^2))
Можно возвратиться и к исходным переменным, но намного красивей не станет.
2 решения возникают из-за того, что высота делит прямоугольник на 2 треугольника, и высота может быть проведена в каждом из них. Соответственно, возникают две конфигурации.
Вероятно, что одно решение будет в случае равнобедренного треугольника.
Автор ответа:
0
Обозначим катеты 
,тогда гипотенуза 
Высота
Положим что![S_{ABC}=frac{ab}{2}=S\
ab=2S](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BABC%7D%3Dfrac%7Bab%7D%7B2%7D%3DS%5C%0A+ab%3D2S "S_{ABC}=frac{ab}{2}=S\
ab=2S")
с выражения![CN=frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}\
sqrt{a^2+b^2}=2CN](https://tex.z-dn.net/?f=CN%3Dfrac%7Bsqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7D%7B2%7D%5C%0A+sqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%3D2CN "CN=frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}\
sqrt{a^2+b^2}=2CN")
Из треугольников
по теореме косинусов и теореме Пифагора соответственно получаем
![AM=MK\
CM^2=AM^2+frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\
CM^2=AM^2+b^2-2AM*b*frac{b}{sqrt{a^2+b^2}}\\
frac{S^2}{CN^2} = b^2-AM*frac{b^2}{CN}\\
frac{S^2}{CN^2} = b^2(1- frac{AM}{CN}) \\
AM=MK=sqrt{CM^2-frac{S^2}{ CN^2 }}=AM\\
frac{S^2}{CN^2} =b^2(1-frac{ sqrt{CM^2-frac{S^2}{CN^2}}}{CN})\\](https://tex.z-dn.net/?f=AM%3DMK%5C%0ACM%5E2%3DAM%5E2%2Bfrac%7Ba%5E2b%5E2%7D%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%5C%0ACM%5E2%3DAM%5E2%2Bb%5E2-2AM%2Ab%2Afrac%7Bb%7D%7Bsqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7D%5C%5C%0Afrac%7BS%5E2%7D%7BCN%5E2%7D+%3D+b%5E2-AM%2Afrac%7Bb%5E2%7D%7BCN%7D%5C%5C%0Afrac%7BS%5E2%7D%7BCN%5E2%7D+%3D+b%5E2%281-+frac%7BAM%7D%7BCN%7D%29+%5C%5C%0AAM%3DMK%3Dsqrt%7BCM%5E2-frac%7BS%5E2%7D%7B+CN%5E2+%7D%7D%3DAM%5C%5C%0Afrac%7BS%5E2%7D%7BCN%5E2%7D+%3Db%5E2%281-frac%7B++sqrt%7BCM%5E2-frac%7BS%5E2%7D%7BCN%5E2%7D%7D%7D%7BCN%7D%29%5C%5C%0A "AM=MK\
CM^2=AM^2+frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\
CM^2=AM^2+b^2-2AM*b*frac{b}{sqrt{a^2+b^2}}\\
frac{S^2}{CN^2} = b^2-AM*frac{b^2}{CN}\\
frac{S^2}{CN^2} = b^2(1- frac{AM}{CN}) \\
AM=MK=sqrt{CM^2-frac{S^2}{ CN^2 }}=AM\\
frac{S^2}{CN^2} =b^2(1-frac{ sqrt{CM^2-frac{S^2}{CN^2}}}{CN})\\")
![AN=NC\
b^2=2CN^2-2CN^2 * cosKNC\
CN=frac{frac{ab}{sqrt{a^2+b^2}}}{sinKNC}\
sinKNC = frac{S}{CN^2}\\
cosKNC=sqrt{frac{CN^4-S^2}{CN^4}}\
b^2=2CN^2(1-sqrt{frac{CN^4-S^2}{CN^4}})\\](https://tex.z-dn.net/?f=AN%3DNC%5C%0A+b%5E2%3D2CN%5E2-2CN%5E2+%2A+cosKNC%5C%0ACN%3Dfrac%7Bfrac%7Bab%7D%7Bsqrt%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7D%7D%7BsinKNC%7D%5C%0A+++++++++++++sinKNC+%3D+frac%7BS%7D%7BCN%5E2%7D%5C%5C%0A+++++++++++++cosKNC%3Dsqrt%7Bfrac%7BCN%5E4-S%5E2%7D%7BCN%5E4%7D%7D%5C%0Ab%5E2%3D2CN%5E2%281-sqrt%7Bfrac%7BCN%5E4-S%5E2%7D%7BCN%5E4%7D%7D%29%5C%5C%0A "AN=NC\
b^2=2CN^2-2CN^2 * cosKNC\
CN=frac{frac{ab}{sqrt{a^2+b^2}}}{sinKNC}\
sinKNC = frac{S}{CN^2}\\
cosKNC=sqrt{frac{CN^4-S^2}{CN^4}}\
b^2=2CN^2(1-sqrt{frac{CN^4-S^2}{CN^4}})\\")
![frac{S^2}{CN^2} =b^2(1-frac{ sqrt{CM^2-frac{S^2}{CN^2}}}{CN})\
frac{S^2}{CN^2}=(2CN^2(1-sqrt{frac{CN^4-S^2}{CN^4}}))*(1-frac{ sqrt{CM^2-frac{S^2}{CN^2}}}{CN})](https://tex.z-dn.net/?f=+frac%7BS%5E2%7D%7BCN%5E2%7D+%3Db%5E2%281-frac%7B+sqrt%7BCM%5E2-frac%7BS%5E2%7D%7BCN%5E2%7D%7D%7D%7BCN%7D%29%5C%0A+frac%7BS%5E2%7D%7BCN%5E2%7D%3D%282CN%5E2%281-sqrt%7Bfrac%7BCN%5E4-S%5E2%7D%7BCN%5E4%7D%7D%29%29%2A%281-frac%7B+sqrt%7BCM%5E2-frac%7BS%5E2%7D%7BCN%5E2%7D%7D%7D%7BCN%7D%29 "frac{S^2}{CN^2} =b^2(1-frac{ sqrt{CM^2-frac{S^2}{CN^2}}}{CN})\
frac{S^2}{CN^2}=(2CN^2(1-sqrt{frac{CN^4-S^2}{CN^4}}))*(1-frac{ sqrt{CM^2-frac{S^2}{CN^2}}}{CN})")
Откуда
Высота
Положим что
с выражения
Из треугольников
Откуда
Интересные вопросы
Предмет: Қазақ тiлi,
автор: ayaulymzhumakasova20
Предмет: Английский язык,
автор: egorvlasenko616
Предмет: Литература,
автор: Аноним
Предмет: Математика,
автор: Ученик200357
Предмет: Алгебра,
автор: Аноним