Пустую открытую бутылку погрузили в воду горлышком вниз на некоторую глубину h и опустили. При этом бутылка не всплывала, не опускалась, а находилась в положении равновесия. Почему? Будет ли это равновесие устойчивым?

Бутылка находится в равновесии,  потому что сила тяжести уравновешивает силу Архимеда.
Это равновесие не будет устойчивым, потому что если опустить бутылку чуть глубже, то за счет увеличения давления объем воздуха в бутылке уменьшится, уменьшится и сила Архимеда. После этого бутылка будет тонуть
Если бутылку приподнять чуть выше, то давление уменьшится а объем воздуха  увеличится и бутылка начнет всплывать