В тот день, когда Диму поздравляли с днем рождения его брат и сестра, Дима сказал : "Смотрите, как интересно, я теперь вдвое старший брат и втрое старше сестры! " "А ваш средний возраст 11 лет", - подхватил папа. Сколько лет исполнилось Диме?

11*2=24 года сумма возрастов братьев.
24:(2+1)=8 лет брату Димы.
24-8=16 лет исполнилось Диме.
Ответ: 16 лет.

Пусть Диме х лет. Тогда брату х/2 лет, а сестре х/3 лет. Их средний возраст (х+х/2+х/3)/3 лет. По условию он равен 11 лет. Составляем уравнение:
(х+х/2+х/3)/3=11
х+х/2+х/3=11*3
х+х/2+х/3=33
6х/6+3х/6+2х/6=33
11х/6=33
11х=33*6
11х=198
х=198:11
х=18 лет исполнилось Диме.