Проекция катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равна 3 см и 9 см.
Найдите меньший катет треугольника.

Имем тр-к АВС. Из вершины С на гипотенузу проведем высоту СD. Отрезки AD=3 и ВD=9 - это данные в условии проекции. 
Свойства прямоугольного треугольника:

Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, т.е. 

ВD / СD = СD / AD 

СD² = 3 * 9;  СD=√27

из.прямоуг. ADC находим AC= √ (AD²+ CD²) = √ (3² + 27) = √ 36 = 6