Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом α і катетом b, протилежним йому. Кожна бічна грань нахилена до основи піраміди під кутом β. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

Обозначим пирамиду АВСS(смотри рисунок). Поскольку все грани наклонены под одинаковым углом, то высота пирамиды опущенная из вершины S приходит в точку О-пересечение биссектрис, которая является центром вписанной окружности и её радиусы OK, OM,ON (рисунок условный-эти радиусы не являются продолжением биссектрис после точки О, они перпендикулярны сторонам). Продолжения биссектрис не показаны, чтобы не загромождать рисунок. Дальше -простая тригонометрия, радиус находим через площадь и полупериметр. Площадь боковой поверхности равна полвине периметра умноженное на апофему или полупериметр на апофему. Ответ на рисунке.

Позначимо вершину піраміди S, вершини трикутника в основі АВС, причому

кут С=90°

кут

BC=b

Кожна бічна грань нахилена до основи піраміди під кутом ., значить вершина піраміди проектується в центр О - вписаного кола. Нехай точки дотику вписаного в трикутник АВС кола до сторін АВ, АС, ВС відповідно. Тоді

кут===

SO - висота піраміди,

за теоремою про три перпендикуляри - висоти трикутників (граней) ASB, ASC, BSC відповідно.

площа бічної поверхні =сумі площ бічних граней=сумі площ трикутників ASB, ASC, BSC

Площа трикутника дорівнює півдобутку сторони трикутника на висоту, проведену до цієї сторони.

За співвідношенями в трикутнику

BC=b,

Зі співвідношень в прямокутних трикутних маємо

площа бічної поверхні дорівнює

(Площа прямокутного трикутника= добутку півпериметра на радіус вписаного кола=півдобутку катетів)