С какой V будет двигаться ящик, если доску привести в движение с горизонтальной скоростью U=0.08 м/с? Внешний радиус ролика под доской вдвое больше радиуса вала, на который намотана нить. (ответ мне нужен для сравнения)

1. Представим, что ролика вовсе нет. Что нижний конец нити зафиксирован на земле и нить неподвижна. Если доска за время t подвинется на расстояние L = ut,метров, то 2-й и 3-й (если считать СНИЗУ) участок нити должны увеличиться на L = ut метров каждый.
Нить неподвижна и не растягивается и не рвётся.
Значит, удлинение этих ДВУХ участков на ut метров каждый вызовет движение верхнего участка нити (вместе с ящиком) на L' = ut + ut = 2ut вправо.
Это значит, что ящик движется со скоростью, в 2 раза бОльшей, чем скорость доски.
Если бы нижний конец нити был зафиксирован на земле, с данной системой блоков ящик двигался бы со скоростью v = 2u вправо.
2. Если бы нить была намотана на обод ролика, она покоилась бы относительно грунта и скорость ящика была бы как и в разобранном выше случае.
3. Представим себе, что нижний конец нити не намотан ни на какой вал, а просто подцеплен к оси вращения ролика: привязан к колечку, которое накинули на ось ролика. Тогда ролик будет тянуть это колечко (и нить) со скоростью ролика влево.
Ролик катится со скоростью u/2 = 0.04 м в с.
К той скорости, которую мы рассчитали для неподвижно лежащей нити, добавится скорость ролика. Нить не растягивается и не рвётся. Значит ящик побежит со скоростью 0,16 + 0,04 = 0,2 м в с.
4.В общем виде рассчитать скорость, с которой нитка, намотанная на валик с радиусом r ролика с радиусом R подтягивается влево (если скорость ролика V = u/2), равна:
V' = V(1 - r/R).
Это - хорошая формула, потому что при r = R (нитка намотана на ролик) она даёт скорость нитки V' = 0 а при r = 0 (нитка подцеплена к оси ролика) даёт V' = V, то есть описывает оба предельных случая.
5. Получается, что скорость ящика может быть описана так:
v = 2u + V(1 - r/R) = 2u + 0.5u(1 - r/R)
Раскрываем скобки, учитываем однородные члены алгебраической суммы, выносим общий множитель, получаем
v = 0.5u(5 - r/R)
v  = 0,5*0,08(5 - 0,5) = 0,18 м в сек

Toft1 как вы считали вкратце расскажите!

Вкратце не получится. Но в личке - рассказал.

Попросил модераторов позволить поместить это решение вместо предыдущего. С подробными объяснениями. Надеюсь, оно - окончательное.