Является ли слово "гора" многозначным?

ДА!!!

1,Значительная возвышенность, поднимающаяся над окружающей местностью.
 2. перен., чего. Нагромождение, куча, множество (разг.). Горы книг. Переделать целую гору дел. Вещи свалены горой
3 Гористая местность. Жители гор

Да, является. Гора - то есть большое возвышение в местности. В предложении "гора с плеч" слово "гора" следует понимать как что-то очень большое, которое лежало на плечах, но в силу каких то обстоятельств упало, и человек получил большое облегчение. (Переносн.)
В предложении "Мы за тебя горой!" слово "горой" следует понимать как "большая помощь, поддержка".